Combinatoire et dénombrement

Exercices types : 11ère partie - Exercice 3

8 min
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Question 1

Combien d'anagrammes du mot SUITE peut-on former ?

Correction
    Deˊfinition du mot anagramme\red{\text{Définition du mot anagramme}}
Interversion des lettres qui composent un mot. Les mots nacre et ancre sont des anagrammes.
On considère l'ensemble E={x1;x2;;xn}E=\left\{x_{1} ;x_{2} ;\ldots ;x_{n} \right\} .
Une permutation de nn éléments distincts x1;x2;;xnx_{1} ;x_{2} ;\ldots ;x_{n} est un réarrangement ordonné, sans répétition de ces nn éléments.
Le nombre de permutations de EE est alors égale à n!\red{n!}
Le mot SUITE est composé de 5\red{5} éléments.
Le nombre de permutations est alors égale à 5!\red{5!} .
Or : 5!=1205!=120
Il y a donc 120120 anagrammes possibles du mot SUITE .
Question 2

Combien d'anagrammes du mot LIMITE peut-on former ?

Correction
    Deˊfinition du mot anagramme\red{\text{Définition du mot anagramme}}
Interversion des lettres qui composent un mot. Les mots nacre et ancre sont des anagrammes.
On considère l'ensemble E={x1;x2;;xn}E=\left\{x_{1} ;x_{2} ;\ldots ;x_{n} \right\} .
Une permutation de nn éléments distincts x1;x2;;xnx_{1} ;x_{2} ;\ldots ;x_{n} est un réarrangement ordonné, sans répétition de ces nn éléments.
Le nombre de permutations de EE est alors égale à n!\red{n!}
Le mot LIMITE est composée de 66 lettres.
Le mot LIMITE comporte deux fois la lettre II.
On cherche donc à placer les 66 lettres du mot LIMITE dans 66 cases et chaque case ne peut contenir qu'une seule lettre.
Dans un premier temps :\purple{\text{Dans un premier temps :}} on cherche à placer les deux II dans les 66 cases disponibles. Il s'agit d'une combinaison de 22 éléments dans un ensemble de 66 .
Ce qui nous donne : (62)=6!2!(62)!\left(\begin{array}{c} {6} \\ {2} \end{array}\right)=\frac{6!}{2!\left(6-2\right)!}
Ainsi : (62)=15\left(\begin{array}{c} {6} \\ {2} \end{array}\right)=15
Il y a donc 1515 manières différentes de placer les deux II dans les 66 cases.
Dans un second temps :\purple{\text{Dans un second temps :}} maintenant, que nous avons placé les deux II, il nous reste à placer les 44 dernières lettres.
Le nombre de permutations est alors égale à 4!\red{4!} .
Or : 4!=244!=24.
Il y a donc (62)×24=360\left(\begin{array}{c} {6} \\ {2} \end{array}\right)\times24=360 anagrammes possibles du mot LIMITE .
Question 3

Combien d'anagrammes du mot THEOREME peut-on former ?

Correction
    Deˊfinition du mot anagramme\red{\text{Définition du mot anagramme}}
Interversion des lettres qui composent un mot. Les mots nacre et ancre sont des anagrammes.
On considère l'ensemble E={x1;x2;;xn}E=\left\{x_{1} ;x_{2} ;\ldots ;x_{n} \right\} .
Une permutation de nn éléments distincts x1;x2;;xnx_{1} ;x_{2} ;\ldots ;x_{n} est un réarrangement ordonné, sans répétition de ces nn éléments.
Le nombre de permutations de EE est alors égale à n!\red{n!}
Le mot THEOREME est composée de 88 lettres.
Le mot THEOREME comporte trois fois la lettre EE.
On cherche donc à placer les 88 lettres du mot THEOREME dans 88 cases et chaque case ne peut contenir qu'une seule lettre.
Dans un premier temps :\purple{\text{Dans un premier temps :}} on cherche à placer les trois EE dans les 88 cases disponibles. Il s'agit d'une combinaison de 33 éléments dans un ensemble de 88 .
Ce qui nous donne : (83)=8!3!(83)!\left(\begin{array}{c} {8} \\ {3} \end{array}\right)=\frac{8!}{3!\left(8-3\right)!}
Ainsi : (83)=56\left(\begin{array}{c} {8} \\ {3} \end{array}\right)=56
Il y a donc 5656 manières différentes de placer les trois EE dans les 88 cases.
Dans un second temps :\purple{\text{Dans un second temps :}} maintenant, que nous avons placé les trois EE, il nous reste à placer les 55 dernières lettres.
Le nombre de permutations est alors égale à 5!\red{5!} .
Or : 5!=1205!=120.
Il y a donc (83)×120=6720\left(\begin{array}{c} {8} \\ {3} \end{array}\right)\times120=6720 anagrammes possibles du mot THEOREME .