Combinatoire et dénombrement

Exercices types : 11ère partie - Exercice 2

3 min
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Finale de la ligue des champions PSG contre Bayern de Munich : Saison 20232023 nous en sommes à la fin des prolongations… les fameux tirs aux buts…
Question 1

Chaque équipe va désigner 55 tireurs de pénaltys parmi les 1111 joueurs . Combien de choix différents le coach de l'équipe du PSG à pour désigner ses 55 tireurs.

Correction
On rappelle qu'il y a un ordre pour les 55 tireurs et un joueur ne peut pas tirer deux fois.
Soit k\red{k} un nombre entier naturel tel que 1≤k≤n1\le k \le \blue{n}.
Le nombre de k\red{k}-uplets d'éléments distincts d'un ensemble EE à n\blue{n} éléments est :
n×(n−1)×(n−2)×…×(n−k+1)=n!(n−k)!\blue{n}\times \left(\blue{n}-1\right)\times \left(\blue{n}-2\right)\times \ldots \times \left(\blue{n}-\red{k}+1\right)=\frac{\blue{n}!}{\left(\blue{n}-\red{k}\right)!}
Ici, on appelle EE l'ensemble des 11\blue{11} éléments (joueurs).
Nous voulons 5\red{5} tireurs, c'est à dire que nous cherchons le nombre de 5\red{5}-uplets d'éléments distincts d'un ensemble EE à 11\blue{11} éléments. (Eléments distincts car un joueur ne peut pas tirer deux fois ).
Il en résulte donc :
11!(11−5)!=11!6!=7×8×9×10×11=55\frac{\blue{11}!}{\left(\blue{11}-\red{5}\right)!}=\frac{11!}{6!}=7\times8\times9\times10\times11=55 440440
Il y a donc 5555 440440 possibilités de désigner 55 tireurs de pénaltys parmi les 1111 joueurs