Soit E l'ensemble des mots de 3 lettres choisis dans {a;b;c;d;f;g}. Chaque lettre peut être répétée jusqu'à trois fois.
Question 1
Déterminer card(E) .
Correction
Le nombre de k-uplets d'un ensemble E à n éléments est égale à nk .
Le terme k-listes est un synonyme de k-uplets
Chaque lettre peut être répétée jusqu'à trois fois, chaque mot est donc un 3-uplet d'éléments de {a;b;c;d;f;g} . Ainsi : card(E)=63 c'est à dire
card(E)=216
Question 2
Quel est le nombre d'éléments de E dont les lettres sont distinctes deux à deux.
Correction
Soit k un nombre entier naturel tel que 1≤k≤n. Le nombre de k-uplets d'éléments distincts d'un ensemble E à n éléments est : n×(n−1)×(n−2)×…×(n−k+1)=(n−k)!n!
Un élément de E dont les lettres sont distinctes deux à deux est un 3-uplet d'éléments de {a;b;c;d;f;g} distincts deux à deux . Ainsi : (6−3)!6!=3!6!=120 Il y a donc 120 éléments de E dont les lettres sont distinctes deux à deux.
Question 3
Quel est le nombre d'éléments de E commençant par la voyelle a, cette voyelle n'étant pas réutilisée par la suite ?
Correction
La première lettre étant la voyelle a; il n'y a donc qu'un seul choix possible. Il reste ensuite 2 lettres à choisir parmi les 5 ( car on ne peut pas réutiliser la voyelle a ). Ainsi :
1×52=25
Il y a donc 25 éléments de E commençant par la voyelle a, cette voyelle n'étant pas réutilisée par la suite.
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