Combinatoire et dénombrement

Exercices types : 11ère partie - Exercice 1

6 min
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Soit EE l'ensemble des mots de 33 lettres choisis dans {a;b;c;d;f;g}\left\{a ;b ;c;d;f;g \right\}. Chaque lettre peut être répétée jusqu'à trois fois.
Question 1

Déterminer card(E)\text{card}\left(E\right) .

Correction
  • Le nombre de k\red{k}-uplets d'un ensemble EE à n\blue{n} éléments est égale à nk\blue{n}^{\red{k}} .
  • Le terme k\red{k}-listes est un synonyme de k\red{k}-uplets
    • Chaque lettre peut être répétée jusqu'à trois fois, chaque mot est donc un 33-uplet d'éléments de {a;b;c;d;f;g}\left\{a ;b ;c;d;f;g \right\} .
    Ainsi : card(E)=63\text{card}\left(E\right)=6^{3} c'est à dire
    card(E)=216\text{card}\left(E\right)=216

    Question 2

    Quel est le nombre d'éléments de EE dont les lettres sont distinctes deux à deux.

    Correction
    Soit k\red{k} un nombre entier naturel tel que 1≤k≤n1\le k \le \blue{n}.
    Le nombre de k\red{k}-uplets d'éléments distincts d'un ensemble EE à n\blue{n} éléments est :
    n×(n−1)×(n−2)×…×(n−k+1)=n!(n−k)!\blue{n}\times \left(\blue{n}-1\right)\times \left(\blue{n}-2\right)\times \ldots \times \left(\blue{n}-\red{k}+1\right)=\frac{\blue{n}!}{\left(\blue{n}-\red{k}\right)!}
    Un élément de EE dont les lettres sont distinctes deux à deux est un 33-uplet d'éléments de {a;b;c;d;f;g}\left\{a ;b ;c;d;f;g \right\} distincts deux à deux . Ainsi :
    6!(6−3)!=6!3!=120\frac{\blue{6}!}{\left(\blue{6}-\red{3}\right)!}=\frac{6!}{3!}=120
    Il y a donc 120120 éléments de EE dont les lettres sont distinctes deux à deux.
    Question 3

    Quel est le nombre d'éléments de EE commençant par la voyelle aa, cette voyelle n'étant pas réutilisée par la suite ?

    Correction
    La première lettre étant la voyelle aa; il n'y a donc qu'un seul choix possible.
    Il reste ensuite 22 lettres à choisir parmi les 55 ( car on ne peut pas réutiliser la voyelle aa ).
    Ainsi :
    1×52=251\times 5^{2}=25

    Il y a donc 25 25 éléments de EE commençant par la voyelle aa, cette voyelle n'étant pas réutilisée par la suite.