Combinatoire et dénombrement

Epreuve d'enseignement de spécialité ASIE 8 juin 2021 sujet 2 Exercice 3 : Dénombrement et Loi Binomiale - Exercice 1

30 min
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Une société de jeu en ligne propose une nouvelle application pour smartphone nommée « Tickets cœurs! ».
Chaque participant génère sur son smartphone un ticket comportant une grille de taille 3×33\times 3 sur laquelle sont placés trois cœurs répartis au hasard, comme par exemple ci-dessous.
Le ticket est gagnant si les trois cœurs sont positionnés côte à côte sur une même ligne, sur une même colonne ou sur une même diagonale.
Question 1

Justifier qu’il y a exactement 8484 façons différentes de positionner les trois cœurs sur une grille

Correction
  • (np)\left(\begin{array}{c} {n} \\ {p} \end{array}\right) est appelé coefficient binomial et se prononce " pp parmi nn " .
  • (np)=n!p!(n−p)!\left(\begin{array}{c} {n} \\ {p} \end{array}\right)=\frac{n!}{p!\left(n-p\right)!}
  • 0!=10!=1
    • On ne tient pas compte de l’ordre.\text{\red{On ne tient pas compte de l'ordre.}}
    Un ticket comporte une grille de taille 3×33\times 3 sur laquelle sont placés trois cœurs répartis au hasard. Il s'agit d'une combinaison de 33 éléments dans un ensemble de 99 .
    Il en résulte donc que le nombre de tirages possibles est égale à :
    (93)=9!3!(9−3)!\left(\begin{array}{c} {9} \\ {3} \end{array}\right)=\frac{9!}{3!\left(9-3\right)!}
    Ainsi : (93)=84\left(\begin{array}{c} {9} \\ {3} \end{array}\right)=84
    Il y a, donc, exactement 8484 façons différentes de positionner les trois cœurs sur une grille
    Dans une combinaison\text{\purple{combinaison}}, il n’y a pas de notion d’ordre\text{\red{il n'y a pas de notion d'ordre}}
    Question 2

    Montrer que la probabilité qu’un ticket soit gagnant est égale à 221\frac{2}{21} .

    Correction
    Nous allons noter AA l'évènement la probabilité qu’un ticket soit gagnant.
    Il y a 33 lignes, 33 colonnes et 22 diagonales donc 88 combinaisons gagnantes.
    La probabilité qu’un ticket soit gagnant est égale à :
    p(A)=nombre des issues favorables Anombre des issues possiblesp\left(A\right)=\frac{\text{nombre des issues favorables } A}{\text{nombre des issues possibles}}
    p(A)=884p\left(A\right)=\frac{8}{84}
    Ainsi :
    p(A)=221p\left(A\right)=\frac{2}{21}

    Question 3

    Lorsqu’un joueur génère un ticket, la société prélève 11 euro sur son compte en banque.
    Si le ticket est gagnant, la société verse alors au joueur 55 euros . Le jeu est-il favorable au joueur ?

    Correction
    D'après la question précédente, nous avons vu que la probabilité qu’un ticket soit gagnant est égale à 221\frac{2}{21} .
    Lorsqu’un joueur génère un ticket, la société prélève 11 euro sur son compte en banque.
    Si le ticket est gagnant, la société verse alors au joueur 55 euros .
    On note GG la variable aléatoire égale au gain algébrique d’un joueur (c’est-à-dire la somme remportée à laquelle on soustrait la somme prélevée sur son compte).
    La variable aléatoire GG prend les valeurs suivantes : G={4;−1}G =\left\{4;-1\right\}.
    On a donc :
    P(G=4)=221P\left(G=4\right)=\frac{2}{21} et P(G=−1)=1921P\left(G=-1\right)=\frac{19}{21} car P(G=4)+P(G=−1)=1P\left(G=4\right)+P\left(G=-1\right)=1
    La loi de probabilité de GG est donnée ci-dessous :
      On appelle l’espérance mathématique de la variable XX, la quantité notée E(X)E\left(X\right) définie par :
    • E(X)=∑xi×pi=x1×p1+x2×p2+…+xn×pnE\left(X\right)=\sum x_{i} \times p_{i} =x_{1} \times p_{1}+x_{2} \times p_{2}+\ldots+ x_{n} \times p_{n}
    Dans un premier temps, nous allons calculer l'espérance de la variable aléatoire GG .
    E(G)=4×221+(−1)×1921E\left(G\right)=4\times\frac{2}{21}+\left(-1\right)\times \frac{19}{21}
    E(G)=821−1921E\left(G\right)=\frac{8}{21}- \frac{19}{21}
    Ainsi :
    E(G)=−1121E\left(G\right)=-\frac{11}{21}
    ou encore E(G)≈−0,52E\left(G\right)\approx-0,52
    En moyenne sur un grand nombre de parties un joueur perd 5252 centimes d’euro par partie. Le jeu est donc défavorable au joueur.
    • Pour que le jeu soit favorable au joueur, il faut que l'espérance soit strictement positive.
    • Pour que le jeu soit défavorable au joueur, il faut que l'espérance soit strictement positive.
    • Si l'espérance est nulle, on dit que le jeu est équitable.
    Question 4

    Un joueur décide de générer 2020 tickets sur cette application. On suppose que les générations des tickets sont indépendantes entre elles.
    Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire XX qui compte le nombre de tickets gagnants parmi les 2020 tickets générés.

    Correction
    Reˊdaction type pour la loi binomiale :\purple{\text{Rédaction type pour la loi binomiale :}}
    On considère l'expérience ci-dessous aˋ deux issues :\red{\text{à deux issues :}}
  • On appelle succeˋs\red{\text{succès}} « le ticket est gagnant » avec la probabilité p=221p=\frac{2}{21}
  • On appelle eˊchec\red{\text{échec}} « le ticket est perdant » avec la probabilité 1−p=19211-p=\frac{19}{21}
    • On répète 2020 fois de suite cette expérience de Bernoulli de façon indeˊpendante\red{\text{façon indépendante}}.
    On est donc en présence d’un scheˊma de Bernoulli.\red{\text{d'un schéma de Bernoulli.}}
    XX est la variable aléatoire qui associe le nombre de tickets gagnants.
    XX suit la loi binomiale de paramètre n=20n=20 et p=221p=\frac{2}{21}
    On note alors XX suit la loi binomiale B(20;221)\mathscr{B}\left(20;\frac{2}{21}\right)

    Question 5

    Calculer la probabilité, arrondie à 10−310^{-3}, de l’évènement (X=5)\left(X = 5\right).

    Correction
    XX suit la loi binomiale B(20;221)\mathscr{B}\left(20;\frac{2}{21}\right)
    Il nous faut calculer P(X=5)P\left(X=5\right)
    Premieˋre manieˋre :\blue{\text{Première manière :}} Avec la formule du cours
    Soit XX une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n;p)\mathscr{B}\left(n;p\right) alors, pour tout entier kk compris entre 00 et nn, on a :
  • P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP\left(X=k\right)=\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right)p^{k} \left(1-p\right)^{n-k}
    • Ainsi :
    P(X=5)=(205)×(221)5×(1921)15≈0,027P\left(X=5\right)=\left(\begin{array}{c} {20} \\ {5} \end{array}\right)\times \left(\frac{2}{21}\right)^{5} \times \left(\frac{19}{21} \right)^{15} \approx 0,027

    Deuxieˋme manieˋre :\blue{\text{Deuxième manière :}} En utilisant les fonctionnalités de la calculatrice
    Avec une Texas :\red{\text{Avec une Texas :}}
    on tape pour P(X=5)P\left(X=5\right)
    (tu peux regarder la vidéo "Utiliser la loi binomiale avec une Texas" pour plus de détails)
    2nd     - DISTR -- puis choisir BinomFdp(valeur de n, valeur de p, valeur de k) c'est-à-dire ici BinomFdp(20, 221\frac{2}{21} , 5) puis taper sur enter et on obtient :
    P(X=5)≈0,027P\left(X=5\right)\approx 0,027
    arrondi à 10−310^{-3} près.
    Pour certaine version de Texas, on aura BinomPdf au lieu de BinomFdp
    Avec une calculatrice Casio Graph 35+ ou modeˋle supeˊrieur:\red{\text{Avec une calculatrice Casio Graph 35+ ou modèle supérieur:}}
    on tape pour : P(X=5)P\left(X=5\right)
    (tu peux regarder la vidéo "Utiliser la loi binomiale avec une Casio" pour plus de détails)
    Choisir Menu Stat puis DIST puis BINM et prendre BPD puis VAR.

    On remplit le tableau de la manière qui suit :
    D.P. Binomiale
    Data Variable
    xx : 55 valeur de kk
    Numtrial : 2020 valeur de nn
    pp : 221\frac{2}{21} valeur de pp

    puis taper sur EXE et on obtient :
    P(X=5)≈0,027P\left(X=5\right)\approx 0,027
    arrondi à 10−310^{-3} près.
    Question 6

    Calculer la probabilité, arrondie à 10−310^{-3}, de l’évènement (X≥1)\left(X \ge 1\right) et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

    Correction
    On doit calculer : P(X≥1)P\left(X\ge 1\right).
    Or : P(X≥1)=1−P(X=0)P\left(X\ge 1\right)=1-P\left(X=0\right)
    Soit XX une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n;p)\mathscr{B}\left(n;p\right) alors, pour tout entier kk compris entre 00 et nn, on a :
  • P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP\left(X=k\right)=\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right)p^{k} \left(1-p\right)^{n-k}
    • P(X≥1)=1−(200)×(221)0×(1921)20P\left(X\ge 1\right)=1-\left(\begin{array}{c} {20} \\ {0} \end{array}\right)\times \left(\frac{2}{21}\right)^{0} \times \left(\frac{19}{21} \right)^{20}
    Finalement :
    P(X≥1)≈0,865P\left(X\ge 1\right)\approx 0,865
    arrondi à 10−310^{-3} près.