Combinatoire et dénombrement

Epreuve d'enseignement de spécialité ASIE 7 juin 2021 sujet 1 Exercice 3 : Dénombrement et Loi Binomiale - Exercice 1

30 min
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Un sac contient les huit lettres suivantes : A B C D E F G H (22 voyelles et 66 consonnes).
Un jeu consiste à tirer simultanément au hasard deux lettres dans ce sac.
On gagne si le tirage est constitué d’une voyelle et d’une consonne.
Question 1

Un joueur extrait simultanément deux lettres du sac. Déterminer le nombre de tirages possibles.

Correction
  • (np)\left(\begin{array}{c} {n} \\ {p} \end{array}\right) est appelé coefficient binomial et se prononce " pp parmi nn " .
  • (np)=n!p!(n−p)!\left(\begin{array}{c} {n} \\ {p} \end{array}\right)=\frac{n!}{p!\left(n-p\right)!}
  • 0!=10!=1
    • On ne tient pas compte de l’ordre.\text{\red{On ne tient pas compte de l'ordre.}} Un joueur extrait simultanément deux lettres du sac. Il s'agit d'une combinaison de 22 éléments dans un ensemble de 88 (22 voyelles et 66 consonnes).
    Il en résulte donc que le nombre de tirages possibles est égale à :
    (82)=8!2!(8−2)!\left(\begin{array}{c} {8} \\ {2} \end{array}\right)=\frac{8!}{2!\left(8-2\right)!}
    Ainsi : (82)=28\left(\begin{array}{c} {8} \\ {2} \end{array}\right)=28
    Il y a donc 2828 tirages possbiles.
    Dans une combinaison\text{\purple{combinaison}}, il n’y a pas de notion d’ordre\text{\red{il n'y a pas de notion d'ordre}}
    Question 2

    Un joueur extrait simultanément deux lettres du sac. Déterminer la probabilité que le joueur gagne à ce jeu.

    Correction
    On gagne si le tirage est constitué d’une voyelle et d’une consonne.
    Il faut donc prendre 11 voyelle parmi 22 voyennes et\red{\text{et}} 11 consonne parmi 66 consonnes. Ce qui nous donne : (21)×(61)\left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {6} \\ {1} \end{array}\right)
    Nous allons noter AA l'évènement la probabilité d’obtenir deux boules de couleurs différentes. Ainsi :
    p(A)=nombre des issues favorables Anombre des issues possiblesp\left(A\right)=\frac{\text{nombre des issues favorables } A}{\text{nombre des issues possibles}}
    p(A)=(21)×(61)(82)p\left(A\right)=\frac{\left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {6} \\ {1} \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} {8} \\ {2} \end{array}\right)}
    p(A)=1228p\left(A\right)=\frac{12}{28}
    Ainsi :
    p(A)=37p\left(A\right)=\frac{3}{7}
    Question 3
    Les questions 3 et 4 de cet exercice sont indépendantes.
    Pour la suite de l’exercice, on admet que la probabilité que le joueur gagne est égale à 37\frac{3}{7} .
    Pour jouer, le joueur doit payer kk euros, kk désignant un entier naturel non nul. Si le joueur gagne, il remporte la somme de 1010 euros, sinon il ne remporte rien.
    On note GG la variable aléatoire égale au gain algébrique d’un joueur (c’est-à-dire la somme remportée à laquelle on soustrait la somme payée).

    Déterminer la loi de probabilité de G{\color{blue}{G}}.

    Correction
    D'après la question précédente, nous avons vu que la probabilité qu'un joueur gagne est égale à 37\frac{3}{7}.
    Pour jouer, le joueur doit payer kk euros, kk désignant un entier naturel non nul. Si le joueur gagne, il remporte la somme de 1010 euros, sinon il ne remporte rien.
    On note GG la variable aléatoire égale au gain algébrique d’un joueur (c’est-à-dire la somme remportée à laquelle on soustrait la somme payée).
    La variable aléatoire GG prend les valeurs suivantes : G={10−k;−k}G =\left\{10-k;-k\right\}.
    On a donc :
    P(G=10−k)=37P\left(G=10-k\right)=\frac{3}{7} et P(G=−k)=47P\left(G=-k\right)=\frac{4}{7} car P(G=10−k)+P(G=−k)=1P\left(G=10-k\right)+P\left(G=-k\right)=1
    La loi de probabilité de GG est donnée ci-dessous :
    Question 4

    Quelle doit être la valeur maximale de la somme payée au départ pour que le jeu reste favorable au joueur ?

    Correction
      On appelle l’espérance mathématique de la variable XX, la quantité notée E(X)E\left(X\right) définie par :
    • E(X)=∑xi×pi=x1×p1+x2×p2+…+xn×pnE\left(X\right)=\sum x_{i} \times p_{i} =x_{1} \times p_{1}+x_{2} \times p_{2}+\ldots+ x_{n} \times p_{n}
    Dans un premier temps, nous allons calculer l'espérance de la variable aléatoire GG .
    E(G)=−k×47+(10−k)×37E\left(G\right)=-k\times \frac{4}{7}+\left(10-k\right)\times \frac{3}{7}
    E(G)=−4k+3×(10−k)7E\left(G\right)=\frac{-4k+3\times \left(10-k\right)}{7}
    E(G)=−4k+30−3k7E\left(G\right)=\frac{-4k+30-3k}{7}
    Ainsi :
    E(G)=−7k+307E\left(G\right)=\frac{-7k+30}{7}
      Pour que le jeu soit favorable au joueur, il faut que l'espérance soit strictement positive. Car si l'espérance est nulle, on dit que le jeu est équitable.
    Il nous faut donc résoudre E(G)>0E\left(G\right)>0 .
    Soit :
    E(G)>0E\left(G\right)>0 équivaut successivement à :
    −7k+307>0\frac{-7k+30}{7}>0
    −7k+30>0-7k+30>0
    −7k>−30-7k>-30
    k<−30−7k<\frac{-30}{-7}
    k<307k<\frac{30}{7} .     \;\; Or 307≈4,3\frac{30}{7}\approx 4,3
    On rappelle que pour jouer, le joueur doit payer kk euros, kk désignant un entier naturel non nul.
    Il en résulte donc que la somme payée au départ pour que le jeu reste favorable au joueur ne doit pas dépasser 44 euros.
    Question 5
    Dix joueurs font chacun une partie. Les lettres tirées sont remises dans le sac après chaque partie.
    On note XX la variable aléatoire égale au nombre de joueurs gagnants.

    Justifier que XX suit une loi binomiale et donner ses paramètres.

    Correction
    Reˊdaction type pour la loi binomiale :\purple{\text{Rédaction type pour la loi binomiale :}}
    On considère l'expérience ci-dessous aˋ deux issues :\red{\text{à deux issues :}}
  • On appelle succeˋs\red{\text{succès}} « le joueur gagne » avec la probabilité p=37p=\frac{3}{7}
  • On appelle eˊchec\red{\text{échec}} « le joueur ne gagne pas » avec la probabilité 1−p=471-p=\frac{4}{7}
    • On répète 1010 fois de suite cette expérience de Bernoulli de façon indeˊpendante\red{\text{façon indépendante}}.
    On est donc en présence d’un scheˊma de Bernoulli.\red{\text{d'un schéma de Bernoulli.}}
    XX est la variable aléatoire qui associe le nombre de joueurs gagnants.
    XX suit la loi binomiale de paramètre n=10n=10 et p=47p=\frac{4}{7}
    On note alors XX suit la loi binomiale B(10;37)\mathscr{B}\left(10;\frac{3}{7}\right)

    Question 6

    Calculer la probabilité, arrondie à 10−310^{-3}, qu’il y ait exactement quatre joueurs gagnants.

    Correction
    XX suit la loi binomiale B(10;37)\mathscr{B}\left(10;\frac{3}{7}\right)
    La probabilité qu’il y ait exactement quatre joueurs gagnants se traduit par : P(X=4)P\left(X=4\right)
    Avec une Texas :\red{\text{Avec une Texas :}} pour P(X=4)P\left(X=4\right) on tape :
    2nd - DISTR -- puis choisir
    BinomFdp(valeur de nn, valeur de pp, valeur de kk) c'est-à-dire ici BinomFdp(1010, 37\frac{3}{7} , 00) puis on tape sur enter et on obtient :
    P(X=4)≈0,247P\left(X=4\right)\approx 0,247
    arrondi à 10−310^{-3} près.
    Pour certaine version de Texas, on aura BinomPdf au lieu de BinomFdp.

    Avec une calculatrice Casio Graph 35+ ou modeˋle supeˊrieur :\red{\text{Avec une calculatrice Casio Graph 35+ ou modèle supérieur :}} pour P(X=4)P\left(X=4\right) on tape :
    Choisir Menu Stat puis DIST puis BINM et prendre BPD puis VAR.
    On remplit le tableau de la manière qui suit :
    D.P. Binomiale
    Data Variable
    xx : 44 Valeur de kk
    Numtrial : 1010 Valeur de nn
    pp : 37\frac{3}{7} Valeur de pp

    puis on tape sur EXE et on obtient :
    P(X=4)≈0,247P\left(X=4\right)\approx 0,247
    arrondi à 10−210^{-2} près.
    Avec une calculatrice Numworks
    Choisir Probabilités puis sélectionner Ok puis une nouvelle fois OK puis choisir Binomiale . Entrer les paramètres n=10n=10 et p=37p=\frac{3}{7}.
    Puis ensuite choisir le calcul avec l'encadré bleu.
    Question 7

    Calculer P(X≥5)P\left(X\ge 5\right) en arrondissant à 10−310^{-3}. Donner une interprétation du résultat obtenu.

    Correction
    Avec la calculatrice, on obtient : P(X≥5)≈0,44P\left(X\ge 5\right)\approx 0,44
    La probabilité qu’il y ait au moins 55 gagnants sur 1010 joueurs est d’environ 0,440,44.
    Question 8

    Déterminer le plus petit entier naturel nn tel que P(X≤n)≥0,9P(X\le n)\ge 0,9 .

    Correction
    Pour cette question, il faut procéder une étude à l'aide de la calculatrice.
    En effet : P(X≤5)≈0,78P(X\le 5)\approx 0,78 et P(X≤6)≈0,92P(X\le 6)\approx 0,92
    Ainsi le plus petit entier naturel nn tel que P(X≤n)≥0,9P(X\le n)\ge 0,9 est alors n=6n=6 .