Deux questions issues du sujet Polynésie 15 Juin 2026 - Exercice 1

Une urne contient $$5$$ boules noires et un nombre $$n$$ de boules rouges, il y a donc en tout $$n+5$$ boules dans l'urne.
$$\text{\red{On ne tient pas compte de l'ordre.}}$$ Le client gagne si les deux boules sont de même couleur :

Choisir $$2$$ boules noires consiste à choisir $$2$$ personnes parmi $$5$$. Autrement dit, c'est une combinaison de $$2$$ éléments dans un ensemble de $$5$$ : $$\binom{5}{2}$$ possibilités;

Choisir $$2$$ boules rouges consiste à choisir $$2$$ personnes parmi $$n$$. Autrement dit, c'est une combinaison de $$2$$ éléments dans un ensemble de $$n$$ : $$\binom{n}{2}$$ possibilités.

Ainsi :
Il en résulte donc que :

Nous savons que : $$p=\frac{\dbinom{5}{2}+\dbinom{n}{2}}{\dbinom{n+5}{2}}$$
Ainsi :
$$\left(\begin{array}{c} {5} \\ {2} \end{array}\right)=\frac{5!}{2!\left(5-2\right)!}=\frac{5!}{2!\times 3!}=10$$
$$\left(\begin{array}{c} {n} \\ {2} \end{array}\right)=\frac{n!}{2!\left(n-2\right)!}=\frac{\left(n-2\right)!\times\left(n-1\right)\times n}{2!\times \left(n-2\right)!}=\frac{n(n-1)}{2}$$
$$\left(\begin{array}{c} {n+5} \\ {2} \end{array}\right)=\frac{\left(n+5\right)!}{2!\left(n+5-2\right)!}=\frac{\left(n+5\right)!}{2!\times \left(n+3\right)!}$$
Ainsi : $$\left(\begin{array}{c} {n+5} \\ {2} \end{array}\right)=\frac{\left(n+3\right)!\times \left(n+4\right)\times\left(n+5\right)}{2!\left(n+3\right)!}=\frac{(n+5)(n+4)}{2}$$
Il en résulte donc que :
$$p=\frac{\dbinom{5}{2}+\dbinom{n}{2}}{\dbinom{n+5}{2}}$$ équivaut à :
$$p=\frac{\red{10}+\dfrac{n(n-1)}{2}}{\dfrac{(n+5)(n+4)}{2}}$$
$$p=\frac{\red{\dfrac{20}{2}}+\dfrac{n(n-1)}{2}}{\dfrac{(n+5)(n+4)}{2}}$$
$$p=\frac{\dfrac{20+n(n-1)}{2}}{\dfrac{(n+5)(n+4)}{2}}$$
$$p=\dfrac{20+n(n-1)}{2}\times \dfrac{2}{(n+5)(n+4)}$$
Nous avons bien :

Nous voulons donc résoudre l'équation : $$p<\dfrac{1}{2}$$
Il vient alors que :
$$\dfrac{20+n(n-1)}{(n+5)(n+4)}<\dfrac{1}{2}$$
$$n\in \mathbb{N}$$, ainsi : $$(n+5)(n+4)>0$$ . Il vient alors que :
$$20+n(n-1)<\dfrac{1}{2}(n+5)(n+4)$$.
On multiplie les deux membres de l'inéquation par $$2$$ pour éliminer le coefficient $$\dfrac{1}{2}$$, ce qui simplifie les calculs.
$$\pink{2}\times 20+\pink{2}\times n(n-1)<\pink{2}\times \dfrac{1}{2}(n+5)(n+4)$$
$$40+2n(n-1)<(n+5)(n+4)$$
$$40+2n^2-2n<n^2+4n+5n+20$$
$$40+2n^2-2n<n^2+9n+20$$
$$40+2n^2-2n-n^2-9n-20<0$$
$$n^2-11n+20<0$$
On utilise le discriminant : $$\Delta=(-11)^2-4 \times 1 \times 20=121-80=41$$
Il existe deux racines réelles distinctes :
$$n_1=\frac{11-\sqrt{41}}{2}\approx 2,3 \quad$$ et $$\quad n_2=\frac{11+\sqrt{41}}{2}\approx 8,7$$
$$n^2-11n+20<0$$ si $$n\in \left]\frac{11-\sqrt{41}}{2};\frac{11+\sqrt{41}}{2}\right[$$.
N'oublions pas que $$n \in \mathbb{N}$$, dans ce cas les valeurs possibles sont: