Combinatoire et dénombrement

Dénombrer les kk-uplets d'un ensemble fini et arrangement - Exercice 7

5 min
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Question 1

Lors d'une finale d'une course cycliste, on a dénombré 506506 classements possibles aux deux premières places. Déterminer le nombre de participants au départ de cette course.

Correction
Soit k\red{k} un nombre entier naturel tel que 1kn1\le k \le \blue{n}.
Le nombre de k\red{k}-uplets d'éléments distincts\text{\pink{distincts}} d'un ensemble EE à n\blue{n} éléments est :
n×(n1)×(n2)××(nk+1)=n!(nk)!\blue{n}\times \left(\blue{n}-1\right)\times \left(\blue{n}-2\right)\times \ldots \times \left(\blue{n}-\red{k}+1\right)=\frac{\blue{n}!}{\left(\blue{n}-\red{k}\right)!}
  • On rappelle\text{\purple{rappelle}} également qu'un arrangement\text{\purple{arrangement}} de k\red{k} éléments de EE est un k\red{k}-uplets d'éléments distincts de l'ensemble EE .
  • On note nn le nombre de participants.
    Ici, on appelle EE l'ensemble des n\blue{n} éléments où nn est un entier naturel non nul.
    Nous voulons le nombre de classement aux 2\red{2} premières places , c'est à dire que nous cherchons le nombre de 2\red{2}-uplets d'éléments distincts\text{\pink{distincts}} d'un ensemble EE à n\blue{n} éléments. (Eléments distincts\text{\pink{distincts}} car un participant ne pas peut occuper deux places simultanément.) Nous sommes bien dans une situation d’arrangement.\text{\purple{d'arrangement}} .
    Il en résulte donc :
    n!(n2)!=(n2)!×(n1)×n(n2)!\frac{\blue{n}!}{\left(\blue{n}-\red{2}\right)!}=\frac{\left(n-2\right)!\times \left(n-1\right)\times n}{\left(n-2\right)!}
    n!(n2)!=(n1)×n\frac{\blue{n}!}{\left(\blue{n}-\red{2}\right)!} =\left(n-1\right)\times n
    Il y a donc (n1)×n\left(n-1\right)\times n possibilités d'obtenir un classement pour les deux premières places.
    Dans un arrangement\text{\purple{arrangement}}, il n’y a pas de reˊpeˊtitions des eˊleˊments\text{\red{n'y a pas de répétitions des éléments}} (éléments distincts) et surtout il y a une notion d’ordre\text{\red{notion d'ordre}} à prendre en compte .
    D'après l'énoncé, on a dénombré 506506 classements possibles aux deux premières places.
    Il nous faut alors résoudre l'équation (n1)×n=506\left(n-1\right)\times n=506
    Ce qui donne :
    n2n=506n^{2} -n=506
    n2n506=0n^{2} -n-506=0
    Δ=2025\Delta =2025
    Comme Δ>0\Delta >0 alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées n1n{}_{1} et n2n{}_{2} telles que :
    n1=bΔ2an{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi n1=(1)20252×1n{}_{1} =\frac{-\left(-1\right)-\sqrt{2025} }{2\times 1} d'où n1=22n{}_{1} =-22
    n2=b+Δ2an{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi n2=(1)+20252×1n{}_{2} =\frac{-\left(-1\right)+\sqrt{2025} }{2\times 1} d'où n2=23n{}_{2} =23
    nn est un entier naturel non nul. Il en résulte donc qu'il y a en tout 23\red{23} participants à cette course cycliste.