Combinatoire et dénombrement

Dénombrer les kk-uplets d'un ensemble fini et arrangement - Exercice 6

5 min
15
Dans cet exercice, nous travaillons avec l'alphabet français constitué de 2626 lettres.
Question 1

Quel est le nombre de mots de cinq lettres deux à deux distincts ?

Correction
Soit k\red{k} un nombre entier naturel tel que 1≤k≤n1\le k \le \blue{n}.
Le nombre de k\red{k}-uplets d'éléments distincts\text{\pink{distincts}} d'un ensemble EE à n\blue{n} éléments est :
n×(n−1)×(n−2)×…×(n−k+1)=n!(n−k)!\blue{n}\times \left(\blue{n}-1\right)\times \left(\blue{n}-2\right)\times \ldots \times \left(\blue{n}-\red{k}+1\right)=\frac{\blue{n}!}{\left(\blue{n}-\red{k}\right)!}
  • On rappelle\text{\purple{rappelle}} également qu'un arrangement\text{\purple{arrangement}} de k\red{k} éléments de EE est un k\red{k}-uplets d'éléments distincts de l'ensemble EE .
    • Ici, on appelle EE l'ensemble des 26\blue{26} éléments (lettres de l'alphabet) .
    Nous voulons des mots de 5\red{5} lettres, c'est à dire que nous cherchons le nombre de 5\red{5}-uplets d'éléments distincts\text{\pink{distincts}} d'un ensemble EE à 26\blue{26} éléments. (Eléments distincts\text{\pink{distincts}} car on ne peut pas réutiliser plusieurs fois la même lettre.) Nous sommes bien dans une situation d’arrangement.\text{\purple{d'arrangement}} .
    Il en résulte donc :
    26!(26−5)!=26!21!\frac{\blue{26}!}{\left(\blue{26}-\red{5}\right)!}=\frac{26!}{21!}
    26!(26−5)!=22×23×24×25×261\frac{\blue{26}!}{\left(\blue{26}-\red{5}\right)!}=\frac{22\times23\times24\times25\times26}{1}
    26!(26−5)!=7  893  600\frac{\blue{26}!}{\left(\blue{26}-\red{5}\right)!}=7\;893\;600
    Il y a donc 7  893  6007\;893\;600 mots de cinq lettres.
    Dans un arrangement\text{\purple{arrangement}}, il n’y a pas de reˊpeˊtitions des eˊleˊments\text{\red{n'y a pas de répétitions des éléments}} (éléments distincts) et surtout il y a une notion d’ordre\text{\red{notion d'ordre}} à prendre en compte .
    Question 2

    Quel est le nombre de mots de cinq lettres?

    Correction
  • Le nombre de k\red{k}-uplets d'un ensemble EE à n\blue{n} éléments est égale à nk\blue{n}^{\red{k}} .
  • Le terme k\red{k}-listes est un synonyme de k\red{k}-uplets
    • Soit EE l'ensemble des 2626 lettres de l'alphabet.
    Nous devons, ici, chercher le nombre de 5\red{5}-uplets d'éléments ( on peut également dire 5\red{5}-listes d'éléments) d'un ensemble EE à 26\blue{26} éléments (nous pouvons ici réutiliser les lettres plusieurs fois) .
    D'après le rappel, il y en a donc : 265\blue{26}^{\red{5}} mots possibles de 55 lettres .
    C'est à dire 11  881  37611\;881\;376 mots...