Combinatoire et dénombrement

Dénombrer les kk-uplets d'un ensemble fini et arrangement - Exercice 3

5 min
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Question 1

C'est le grand jour pour le prix D'Amérique. Il y a 1212 chevaux en lice. Combien y'a t-il de quintés possibles?

Correction
Soit k\red{k} un nombre entier naturel tel que 1≤k≤n1\le k \le \blue{n}.
Le nombre de k\red{k}-uplets d'éléments distincts\text{\pink{distincts}} d'un ensemble EE à n\blue{n} éléments est :
n×(n−1)×(n−2)×…×(n−k+1)=n!(n−k)!\blue{n}\times \left(\blue{n}-1\right)\times \left(\blue{n}-2\right)\times \ldots \times \left(\blue{n}-\red{k}+1\right)=\frac{\blue{n}!}{\left(\blue{n}-\red{k}\right)!}
  • On rappelle\text{\purple{rappelle}} également qu'un arrangement\text{\purple{arrangement}} de k\red{k} éléments de EE est un k\red{k}-uplets d'éléments distincts de l'ensemble EE .
    • Ici, on appelle EE l'ensemble des 12\blue{12} éléments (chevaux).
    Nous voulons le nombre de quintés, c'est à dire que nous cherchons le nombre de 5\red{5}-uplets d'éléments distincts\text{\pink{distincts}} d'un ensemble EE à 12\blue{12} éléments. (Eléments distincts\text{\pink{distincts}} car un cheval ne pas peut occuper deux places simultanément.) Nous sommes bien dans une situation d’arrangement.\text{\purple{d'arrangement}} .
    Il en résulte donc :
    12!(12−5)!=12!7!\frac{\blue{12}!}{\left(\blue{12}-\red{5}\right)!}=\frac{12!}{7!}
    12!(12−5)!=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×121×2×3×4×5×6×7\frac{\blue{12}!}{\left(\blue{12}-\red{5}\right)!}=\frac{\cancel{1}\times \cancel{2}\times \cancel{3}\times \cancel{4}\times \cancel{5}\times \cancel{6}\times \cancel{7}\times 8\times 9\times 10\times 11\times 12}{\cancel{1}\times \cancel{2}\times \cancel{3}\times \cancel{4}\times \cancel{5}\times \cancel{6}\times \cancel{7}}
    12!(12−5)!=8×9×10×11×12\frac{\blue{12}!}{\left(\blue{12}-\red{5}\right)!}=8\times 9\times 10\times 11\times 12
    12!(12−5)!=95\frac{\blue{12}!}{\left(\blue{12}-\red{5}\right)!}=95 040040
    Il y a donc 9595 040040 quintés possibles.
    Dans un arrangement\text{\purple{arrangement}}, il n’y a pas de reˊpeˊtitions des eˊleˊments\text{\red{n'y a pas de répétitions des éléments}} (éléments distincts) et surtout il y a une notion d’ordre\text{\red{notion d'ordre}} à prendre en compte .
    Question 2

    Finale du 100100 mètres lors des JO . Les 88 athlètes sont sur la ligne de départ. Combien y'a-t-il de podiums possibles?

    Correction
    Soit k\red{k} un nombre entier naturel tel que 1≤k≤n1\le k \le \blue{n}.
    Le nombre de k\red{k}-uplets d'éléments distincts\text{\pink{distincts}} d'un ensemble EE à n\blue{n} éléments est :
    n×(n−1)×(n−2)×…×(n−k+1)=n!(n−k)!\blue{n}\times \left(\blue{n}-1\right)\times \left(\blue{n}-2\right)\times \ldots \times \left(\blue{n}-\red{k}+1\right)=\frac{\blue{n}!}{\left(\blue{n}-\red{k}\right)!}
  • On rappelle\text{\purple{rappelle}} également qu'un arrangement\text{\purple{arrangement}} de k\red{k} éléments de EE est un k\red{k}-uplets d'éléments distincts de l'ensemble EE .
    • Ici, on appelle EE l'ensemble des 8\blue{8} éléments (athlètes).
    Nous voulons le nombre de podium (médaille d'or, médaille d'argent et bronze), c'est à dire que nous cherchons le nombre de 3\red{3}-uplets d'éléments distincts\text{\pink{distincts}} d'un ensemble EE à 8\blue{8} éléments. (Eléments distincts\text{\pink{distincts}} car un athlète ne pas peut occuper deux places simultanément.) Nous sommes bien dans une situation d’arrangement.\text{\purple{d'arrangement}} .
    Il en résulte donc :
    8!(8−3)!=8!5!\frac{\blue{8}!}{\left(\blue{8}-\red{3}\right)!}=\frac{8!}{5!}
    8!(8−3)!=1×2×3×4×5×6×7×81×2×3×4×5\frac{\blue{8}!}{\left(\blue{8}-\red{3}\right)!}=\frac{\cancel{1}\times \cancel{2}\times \cancel{3}\times \cancel{4}\times \cancel{5}\times 6\times 7\times 8}{\cancel{1}\times \cancel{2}\times \cancel{3}\times \cancel{4}\times \cancel{5}}
    8!(8−3)!=6×7×8\frac{\blue{8}!}{\left(\blue{8}-\red{3}\right)!}=6\times 7\times 8
    Il y a donc 336336 podiums possibles.
    Dans un arrangement\text{\purple{arrangement}}, il n’y a pas de reˊpeˊtitions des eˊleˊments\text{\red{n'y a pas de répétitions des éléments}} (éléments distincts) et surtout il y a une notion d’ordre\text{\red{notion d'ordre}} à prendre en compte .