Combinatoire et dénombrement

Dénombrer les kk-uplets d'un ensemble fini et arrangement - Exercice 2

4 min
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Question 1

Nous disposons des chiffres 11, 22, 33 et 44 à utiliser une seule fois . Combien de nombres à trois chiffres pouvons nous donc former ?

Correction
Soit k\red{k} un nombre entier naturel tel que 1≤k≤n1\le k \le \blue{n}.
Le nombre de k\red{k}-uplets d'éléments distincts\text{\pink{distincts}} d'un ensemble EE à n\blue{n} éléments est :
n×(n−1)×(n−2)×…×(n−k+1)=n!(n−k)!\blue{n}\times \left(\blue{n}-1\right)\times \left(\blue{n}-2\right)\times \ldots \times \left(\blue{n}-\red{k}+1\right)=\frac{\blue{n}!}{\left(\blue{n}-\red{k}\right)!}
  • On rappelle\text{\purple{rappelle}} également qu'un arrangement\text{\purple{arrangement}} de k\red{k} éléments de EE est un k\red{k}-uplets d'éléments distincts de l'ensemble EE .
    • Ici, on appelle EE l'ensemble des 4\blue{4} éléments . Ainsi : E={1;2;3;4}E=\left\{1;2;3;4\right\} .
    Nous voulons des nombres à 3\red{3} chiffres, c'est à dire que nous cherchons le nombre de 3\red{3}-uplets d'éléments distincts\text{\pink{distincts}} d'un ensemble EE à 4\blue{4} éléments. (Eléments distincts\text{\pink{distincts}} car on ne peut pas réutiliser par exemple le chiffre 44 plusieurs fois.) Nous sommes bien dans une situation d’arrangement.\text{\purple{d'arrangement}} .
    Il en résulte donc :
    4!(4−3)!=4!1!\frac{\blue{4}!}{\left(\blue{4}-\red{3}\right)!}=\frac{4!}{1!}
    4!(4−3)!=4×3×2×11\frac{\blue{4}!}{\left(\blue{4}-\red{3}\right)!}=\frac{4\times3\times2\times1}{1}
    4!(4−3)!=24\frac{\blue{4}!}{\left(\blue{4}-\red{3}\right)!}=24
    Il y a donc 2424 possibilités de créer un nombre à trois chiffre à l'aide des 44 chiffres de l'ensemble EE .
    Dans un arrangement\text{\purple{arrangement}}, il n’y a pas de reˊpeˊtitions des eˊleˊments\text{\red{n'y a pas de répétitions des éléments}} (éléments distincts) et surtout il y a une notion d’ordre\text{\red{notion d'ordre}} à prendre en compte .
    Question 2

    Nous disposons des chiffres 11, 22, 33 et 44 que l'on peut réutiliser. Combien de nombres à trois chiffres pouvons nous donc former ?

    Correction
  • Le nombre de k\red{k}-uplets d'un ensemble EE à n\blue{n} éléments est égale à nk\blue{n}^{\red{k}} .
  • Le terme k\red{k}-listes est un synonyme de k\red{k}-uplets
    • Nous devons, ici, chercher le nombre de 3\red{3}-uplets d'éléments ( on peut également dire 3\red{3}-listes d'éléments) d'un ensemble EE à 4\blue{4} éléments (nous pouvons ici réutiliser les chiffres plusieurs fois) .
    D'après le rappel, il y en a donc : 43=64\blue{4}^{\red{3}}=64