Nous disposons des chiffres 1, 2, 3 et 4 à utiliser une seule fois . Combien de nombres à trois chiffres pouvons nous donc former ?
Correction
Soit k un nombre entier naturel tel que 1≤k≤n. Le nombre de k-uplets d'éléments distincts d'un ensemble E à n éléments est : n×(n−1)×(n−2)×…×(n−k+1)=(n−k)!n!
On rappelle également qu'un arrangement de k éléments de E est un k-uplets d'éléments distincts de l'ensemble E .
Ici, on appelle E l'ensemble des 4 éléments . Ainsi : E={1;2;3;4} . Nous voulons des nombres à 3 chiffres, c'est à dire que nous cherchons le nombre de 3-uplets d'éléments distincts d'un ensemble E à 4 éléments. (Eléments distincts car on ne peut pas réutiliser par exemple le chiffre 4 plusieurs fois.) Nous sommes bien dans une situation d’arrangement. Il en résulte donc : (4−3)!4!=1!4! (4−3)!4!=14×3×2×1 (4−3)!4!=24 Il y a donc 24 possibilités de créer un nombre à trois chiffre à l'aide des 4 chiffres de l'ensemble E .
Dans un arrangement, il n’y a pas de reˊpeˊtitions des eˊleˊments (éléments distincts) et surtout il y a une notion d’ordre à prendre en compte .
2
Nous disposons des chiffres 1, 2, 3 et 4 que l'on peut réutiliser. Combien de nombres à trois chiffres pouvons nous donc former ?
Correction
Le nombre de k-uplets d'un ensemble E à n éléments est égale à nk .
Le terme k-listes est un synonyme de k-uplets
Nous devons, ici, chercher le nombre de 3-uplets d'éléments ( on peut également dire 3-listes d'éléments) d'un ensemble E à 4 éléments (nous pouvons ici réutiliser les chiffres plusieurs fois) . D'après le rappel, il y en a donc : 43=64
Exercice 3
1
C'est le grand jour pour le prix D'Amérique. Il y a 12 chevaux en lice. Combien y'a t-il de quintés possibles?
Correction
Soit k un nombre entier naturel tel que 1≤k≤n. Le nombre de k-uplets d'éléments distincts d'un ensemble E à n éléments est : n×(n−1)×(n−2)×…×(n−k+1)=(n−k)!n!
On rappelle également qu'un arrangement de k éléments de E est un k-uplets d'éléments distincts de l'ensemble E .
Ici, on appelle E l'ensemble des 12 éléments (chevaux). Nous voulons le nombre de quintés, c'est à dire que nous cherchons le nombre de 5-uplets d'éléments distincts d'un ensemble E à 12 éléments. (Eléments distincts car un cheval ne pas peut occuper deux places simultanément.) Nous sommes bien dans une situation d’arrangement. Il en résulte donc : (12−5)!12!=7!12! (12−5)!12!=1×2×3×4×5×6×71×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12 (12−5)!12!=8×9×10×11×12 (12−5)!12!=95040 Il y a donc 95040 quintés possibles.
Dans un arrangement, il n’y a pas de reˊpeˊtitions des eˊleˊments (éléments distincts) et surtout il y a une notion d’ordre à prendre en compte .
2
Finale du 100 mètres lors des JO . Les 8 athlètes sont sur la ligne de départ. Combien y'a-t-il de podiums possibles?
Correction
Soit k un nombre entier naturel tel que 1≤k≤n. Le nombre de k-uplets d'éléments distincts d'un ensemble E à n éléments est : n×(n−1)×(n−2)×…×(n−k+1)=(n−k)!n!
On rappelle également qu'un arrangement de k éléments de E est un k-uplets d'éléments distincts de l'ensemble E .
Ici, on appelle E l'ensemble des 8 éléments (athlètes). Nous voulons le nombre de podium (médaille d'or, médaille d'argent et bronze), c'est à dire que nous cherchons le nombre de 3-uplets d'éléments distincts d'un ensemble E à 8 éléments. (Eléments distincts car un athlète ne pas peut occuper deux places simultanément.) Nous sommes bien dans une situation d’arrangement. Il en résulte donc : (8−3)!8!=5!8! (8−3)!8!=1×2×3×4×51×2×3×4×5×6×7×8 (8−3)!8!=6×7×8 Il y a donc 336 podiums possibles.
Dans un arrangement, il n’y a pas de reˊpeˊtitions des eˊleˊments (éléments distincts) et surtout il y a une notion d’ordre à prendre en compte .
Exercice 4
1
Apple propose des codes de sécurités à 6 chiffres pour débloquer son Iphone. Combien existe t-il de codes ?
Correction
Le nombre de k-uplets d'un ensemble E à n éléments est égale à nk .
Le terme k-listes est un synonyme de k-uplets
Soit E={0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} l'ensemble des chiffres à notre disposition. Nous devons, ici, chercher le nombre de 6-uplets d'éléments ( on peut également dire 6-listes d'éléments) d'un ensemble E à 10 éléments (nous pouvons ici réutiliser les chiffres plusieurs fois) . D'après le rappel, il y en a donc : 106=1000000 codes possibles .
Exercice 5
On dispose d'un sac contenant 9 jetons numérotés de 0 à 8 . On tire au hasard un jeton, en notant son numéro, puis on remet le jeton et on réitère le tirage.
1
Lina affirme qu'il y a 49 tirages possibles si l'on fait 4 tirages successifs de jetons avec remise . Lina a t-elle raison ?
Correction
Le nombre de k-uplets d'un ensemble E à n éléments est égale à nk .
Le terme k-listes est un synonyme de k-uplets
Soit E={0;1;2;3;4;5;6;7;8} l'ensemble des jetons numérotés à notre disposition. Nous devons, ici, chercher le nombre de 4-uplets d'éléments ( on peut également dire 4-listes d'éléments) d'un ensemble E à 9 éléments (nous pouvons ici réutiliser les chiffres plusieurs fois) . D'après le rappel, il y en a donc : 94=6561 tirages possibles. Lina n’a donc pas raison !
Exercice 6
Dans cet exercice, nous travaillons avec l'alphabet français constitué de 26 lettres.
1
Quel est le nombre de mots de cinq lettres deux à deux distincts ?
Correction
Soit k un nombre entier naturel tel que 1≤k≤n. Le nombre de k-uplets d'éléments distincts d'un ensemble E à n éléments est : n×(n−1)×(n−2)×…×(n−k+1)=(n−k)!n!
On rappelle également qu'un arrangement de k éléments de E est un k-uplets d'éléments distincts de l'ensemble E .
Ici, on appelle E l'ensemble des 26 éléments (lettres de l'alphabet) . Nous voulons des mots de 5 lettres, c'est à dire que nous cherchons le nombre de 5-uplets d'éléments distincts d'un ensemble E à 26 éléments. (Eléments distincts car on ne peut pas réutiliser plusieurs fois la même lettre.) Nous sommes bien dans une situation d’arrangement. Il en résulte donc : (26−5)!26!=21!26! (26−5)!26!=122×23×24×25×26 (26−5)!26!=7893600 Il y a donc 7893600 mots de cinq lettres.
Dans un arrangement, il n’y a pas de reˊpeˊtitions des eˊleˊments (éléments distincts) et surtout il y a une notion d’ordre à prendre en compte .
2
Quel est le nombre de mots de cinq lettres?
Correction
Le nombre de k-uplets d'un ensemble E à n éléments est égale à nk .
Le terme k-listes est un synonyme de k-uplets
Soit E l'ensemble des 26 lettres de l'alphabet. Nous devons, ici, chercher le nombre de 5-uplets d'éléments ( on peut également dire 5-listes d'éléments) d'un ensemble E à 26 éléments (nous pouvons ici réutiliser les lettres plusieurs fois) . D'après le rappel, il y en a donc : 265 mots possibles de 5 lettres . C'est à dire 11881376 mots...
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