Dénombrer les $k$-uplets d'un ensemble fini et arrangement

Par exemple nous pouvons écrire les trois $4$-uplets de $A$ suivants :

$\left(a;b;c;d\right)$

$\left(a;b;d;e\right)$

$\left(d;a;e;c\right)$

Ici, on appelle $E$ l'ensemble des $\blue{4}$ éléments . Ainsi : $E=\left\{1;2;3;4\right\}$ .
Nous voulons des nombres à $\red{3}$ chiffres, c'est à dire que nous cherchons le nombre de $\red{3}$-uplets d'éléments $\text{\pink{distincts}}$ d'un ensemble $E$ à $\blue{4}$ éléments. (Eléments $\text{\pink{distincts}}$ car on ne peut pas réutiliser par exemple le chiffre $4$ plusieurs fois.) Nous sommes bien dans une situation $\text{\purple{d'arrangement}} .$
Il en résulte donc :
$\frac{\blue{4}!}{\left(\blue{4}-\red{3}\right)!}=\frac{4!}{1!}$
$\frac{\blue{4}!}{\left(\blue{4}-\red{3}\right)!}=\frac{4\times3\times2\times1}{1}$
$\frac{\blue{4}!}{\left(\blue{4}-\red{3}\right)!}=24$
Il y a donc $24$ possibilités de créer un nombre à trois chiffre à l'aide des $4$ chiffres de l'ensemble $E$ .

Nous devons, ici, chercher le nombre de $\red{3}$-uplets d'éléments ( on peut également dire $\red{3}$-listes d'éléments) d'un ensemble $E$ à $\blue{4}$ éléments (nous pouvons ici réutiliser les chiffres plusieurs fois) .
D'après le rappel, il y en a donc : $\blue{4}^{\red{3}}=64$

Ici, on appelle $E$ l'ensemble des $\blue{12}$ éléments (chevaux).
Nous voulons le nombre de quintés, c'est à dire que nous cherchons le nombre de $\red{5}$-uplets d'éléments $\text{\pink{distincts}}$ d'un ensemble $E$ à $\blue{12}$ éléments. (Eléments $\text{\pink{distincts}}$ car un cheval ne pas peut occuper deux places simultanément.) Nous sommes bien dans une situation $\text{\purple{d'arrangement}} .$
Il en résulte donc :
$\frac{\blue{12}!}{\left(\blue{12}-\red{5}\right)!}=\frac{12!}{7!}$
$\frac{\blue{12}!}{\left(\blue{12}-\red{5}\right)!}=\frac{\cancel{1}\times \cancel{2}\times \cancel{3}\times \cancel{4}\times \cancel{5}\times \cancel{6}\times \cancel{7}\times 8\times 9\times 10\times 11\times 12}{\cancel{1}\times \cancel{2}\times \cancel{3}\times \cancel{4}\times \cancel{5}\times \cancel{6}\times \cancel{7}}$
$\frac{\blue{12}!}{\left(\blue{12}-\red{5}\right)!}=8\times 9\times 10\times 11\times 12$
$\frac{\blue{12}!}{\left(\blue{12}-\red{5}\right)!}=95$ $040$
Il y a donc $95$ $040$ quintés possibles.

Ici, on appelle $E$ l'ensemble des $\blue{8}$ éléments (athlètes).
Nous voulons le nombre de podium (médaille d'or, médaille d'argent et bronze), c'est à dire que nous cherchons le nombre de $\red{3}$-uplets d'éléments $\text{\pink{distincts}}$ d'un ensemble $E$ à $\blue{8}$ éléments. (Eléments $\text{\pink{distincts}}$ car un athlète ne pas peut occuper deux places simultanément.) Nous sommes bien dans une situation $\text{\purple{d'arrangement}} .$
Il en résulte donc :
$\frac{\blue{8}!}{\left(\blue{8}-\red{3}\right)!}=\frac{8!}{5!}$
$\frac{\blue{8}!}{\left(\blue{8}-\red{3}\right)!}=\frac{\cancel{1}\times \cancel{2}\times \cancel{3}\times \cancel{4}\times \cancel{5}\times 6\times 7\times 8}{\cancel{1}\times \cancel{2}\times \cancel{3}\times \cancel{4}\times \cancel{5}}$
$\frac{\blue{8}!}{\left(\blue{8}-\red{3}\right)!}=6\times 7\times 8$
Il y a donc $336$ podiums possibles.

Soit $E=\left\{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\right\}$ l'ensemble des chiffres à notre disposition.
Nous devons, ici, chercher le nombre de $\red{6}$-uplets d'éléments ( on peut également dire $\red{6}$-listes d'éléments) d'un ensemble $E$ à $\blue{10}$ éléments (nous pouvons ici réutiliser les chiffres plusieurs fois) .
D'après le rappel, il y en a donc : $\blue{10}^{\red{6}}=1$ $000$ $000$ codes possibles .

Soit $E=\left\{0;1;2;3;4;5;6;7;8\right\}$ l'ensemble des jetons numérotés à notre disposition.
Nous devons, ici, chercher le nombre de $\red{4}$-uplets d'éléments ( on peut également dire $\red{4}$-listes d'éléments) d'un ensemble $E$ à $\blue{9}$ éléments (nous pouvons ici réutiliser les chiffres plusieurs fois) .
D'après le rappel, il y en a donc : $\blue{9}^{\red{4}}=6$ $561$ tirages possibles.
$\purple{\text{Lina n'a donc pas raison !}}$

Ici, on appelle $E$ l'ensemble des $\blue{26}$ éléments (lettres de l'alphabet) .
Nous voulons des mots de $\red{5}$ lettres, c'est à dire que nous cherchons le nombre de $\red{5}$-uplets d'éléments $\text{\pink{distincts}}$ d'un ensemble $E$ à $\blue{26}$ éléments. (Eléments $\text{\pink{distincts}}$ car on ne peut pas réutiliser plusieurs fois la même lettre.) Nous sommes bien dans une situation $\text{\purple{d'arrangement}} .$
Il en résulte donc :
$\frac{\blue{26}!}{\left(\blue{26}-\red{5}\right)!}=\frac{26!}{21!}$
$\frac{\blue{26}!}{\left(\blue{26}-\red{5}\right)!}=\frac{22\times23\times24\times25\times26}{1}$
$\frac{\blue{26}!}{\left(\blue{26}-\red{5}\right)!}=7\;893\;600$
Il y a donc $7\;893\;600$ mots de cinq lettres.

Soit $E$ l'ensemble des $26$ lettres de l'alphabet.
Nous devons, ici, chercher le nombre de $\red{5}$-uplets d'éléments ( on peut également dire $\red{5}$-listes d'éléments) d'un ensemble $E$ à $\blue{26}$ éléments (nous pouvons ici réutiliser les lettres plusieurs fois) .
D'après le rappel, il y en a donc : $\blue{26}^{\red{5}}$ mots possibles de $5$ lettres .
C'est à dire $11\;881\;376$ mots...

On note $n$ le nombre de participants.
Ici, on appelle $E$ l'ensemble des $\blue{n}$ éléments où $n$ est un entier naturel non nul.
Nous voulons le nombre de classement aux $\red{2}$ premières places , c'est à dire que nous cherchons le nombre de $\red{2}$-uplets d'éléments $\text{\pink{distincts}}$ d'un ensemble $E$ à $\blue{n}$ éléments. (Eléments $\text{\pink{distincts}}$ car un participant ne pas peut occuper deux places simultanément.) Nous sommes bien dans une situation $\text{\purple{d'arrangement}} .$
Il en résulte donc :
$\frac{\blue{n}!}{\left(\blue{n}-\red{2}\right)!}=\frac{\left(n-2\right)!\times \left(n-1\right)\times n}{\left(n-2\right)!}$
$\frac{\blue{n}!}{\left(\blue{n}-\red{2}\right)!} =\left(n-1\right)\times n$
Il y a donc $\left(n-1\right)\times n$ possibilités d'obtenir un classement pour les deux premières places.
D'après l'énoncé, on a dénombré $506$ classements possibles aux deux premières places.
Il nous faut alors résoudre l'équation $\left(n-1\right)\times n=506$
Ce qui donne :
$n^{2} -n=506$
$n^{2} -n-506=0$
$\Delta =2025$
Comme $\Delta >0$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $n{}_{1}$ et $n{}_{2}$ telles que :
$n{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$ ainsi $n{}_{1} =\frac{-\left(-1\right)-\sqrt{2025} }{2\times 1}$ d'où $n{}_{1} =-22$
$n{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$ ainsi $n{}_{2} =\frac{-\left(-1\right)+\sqrt{2025} }{2\times 1}$ d'où $n{}_{2} =23$
$n$ est un entier naturel non nul. Il en résulte donc qu'il y a en tout $\red{23}$ participants à cette course cycliste.