Cardinal d'un ensemble et produit cartésien - Exercice 6

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Finale de la ligue des Champions le 23 Août 2020 : Bayern Vs PSG
Avant le début du match, les deux équipes se serrent la main . Le PSG est composé de 1818 joueurs et le Bayern de 1919 joueurs .
Question 1

Combien de poignées de main ont été échangées ? On suppose bien sûr que chaque joueur d’une équipe serre la main de chaque joueur de l’autre équipe. Fair play Oblige :)

Correction
Notons PP l'ensemble des 1818 joueurs du PSG et BB l'ensemble des 1919 joueurs du Bayern .
  • L’ensemble PP est composée de 1818 joueurs (éléments) donc
    card(P)=18\text{card}\left(P\right)=18
  • L’ensemble BB est composée de 1919 joueurs (éléments) donc
    card(B)=19\text{card}\left(B\right)=19
    • Une poignée de main est donc un couple du produit cartésien P×BP \times B . En effet, une poignée de main est constitué d'un joueur du PSG dans l'ensemble des 1818 joueurs et d'un joueur du Bayern dans l’ensemble des 1919 joueurs.
    Il vient alors que :
    card(P×B)=card(P)×card(B)\text{card}\left(P\times B\right)=\text{card}\left(P\right)\times\text{card}\left(B\right)
    card(P×B)=18×19\text{card}\left(P\times B\right)=18 \times 19
    Ainsi :
    card(P×B)=342\text{card}\left(P\times B\right)=342

    Il y aura donc 342342 poignées de mains échangés avant le début du match.

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