Combinatoire et dénombrement

Cardinal d'un ensemble et produit cartésien - Exercice 5

3 min
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Question 1
On lance 44 dés à six faces. L’ensemble A={1;2;3;4;5;6}A=\left\{1 ;2 ;3 ;4;5;6 \right\} correspond aux résultats possibles pour un dé. On note A4A^{4} l'ensemble des quadruplets lors des lancers des 44 dés.

Donner deux exemples de quadruplets.

Correction
  • (1;6;5;2)∈A4\left(1;6;5;2\right)\in A^{4}
  • (5;6;4;4)∈A4\left(5;6;4;4\right)\in A^{4}
    • Question 2

    Dénombrer le nombre de quadruplets possibles lors du lancer des 44 dés.

    Correction
      Principe multiplicatif\red{\text{Principe multiplicatif}}
    • A1,A2,A3,…,AnA_{1} ,A_{2} ,A_{3} ,\ldots ,A_{n} sont nn ensembles finis alors : card(A1×A2×A3×…×An)=card(A1)×card(A2)×card(A3)×…×card(An)\text{card}\left(A_{1} \times A_{2} \times A_{3} \times \ldots \times A_{n} \right)=\text{card}\left(A_{1}\right)\times\text{card}\left(A_{2}\right)\times\text{card}\left(A_{3}\right) \times\ldots \times\text{card}\left( A_{n} \right)
    L’ensemble A={1;2;3;4;5;6}A=\left\{1 ;2 ;3 ;4;5;6 \right\} correspond aux résultats possibles pour un dé ainsi card(A)=6\text{card}\left(A \right)={\color{blue}{6}}
    card(A4)=card(A)×card(A)×card(A)×card(A)\text{card}\left(A^{4} \right)=\text{card}\left(A\right)\times \text{card}\left(A\right)\times \text{card}\left(A\right)\times \text{card}\left(A\right)
    card(A4)=6×6×6×6\text{card}\left(A^{4} \right)=6\times 6\times 6\times 6
    card(A4)=64\text{card}\left(A^{{\color{red}{4}}} \right)={\color{blue}{6}}^{{\color{red}{4}}}
    Ainsi :
    card(A4)=1296\text{card}\left(A^{4} \right)=1296

    Il y a donc 1  2961\;296 quadruplets possibles lors du lancer des 44 dés.
      Dans ce genre de situation, nous pouvons penser également à la propriété suivante.
  • Soit EE un ensemble fini à n{\color{blue}{n}} éléments et p{\color{red}{p}} un entier naturel non nul. On a alors : card(Ep)=np\text{card}\left(E^{{\color{red}{p}}} \right)={\color{blue}{n}}^{{\color{red}{p}}}