Combinatoire et dénombrement

Cardinal d'un ensemble et produit cartésien - Exercice 3

3 min
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Question 1
Au restaurant, le serveur nous propose une carte composée de 33 apéritifs, 44 entrées, 22 plats chauds et 55 desserts.

Combien de menus différents peut-on composer ? Le client prendra un élément de chaque.

Correction
    Principe multiplicatif\red{\text{Principe multiplicatif}}
  • A1,A2,A3,,AnA_{1} ,A_{2} ,A_{3} ,\ldots ,A_{n} sont nn ensembles finis alors : card(A1×A2×A3××An)=card(A1)×card(A2)×card(A3)××card(An)\text{card}\left(A_{1} \times A_{2} \times A_{3} \times \ldots \times A_{n} \right)=\text{card}\left(A_{1}\right)\times\text{card}\left(A_{2}\right)\times\text{card}\left(A_{3}\right) \times\ldots \times\text{card}\left( A_{n} \right)
Notons :
  • AA l'ensemble des 33 apéritifs. Donc
    card(A)=3\text{card}\left(A\right)=3
  • EE l'ensemble des 44 entrées. Donc
    card(E)=4\text{card}\left(E\right)=4
  • PP l'ensemble des 22 plats chauds. Donc
    card(P)=2\text{card}\left(P\right)=2
  • DD l'ensemble des 55 desserts. Donc
    card(D)=5\text{card}\left(D\right)=5
  • Le choix du menu est donc un quadruplet du produit cartésien A×E×P×DA \times E \times P \times D . En effet, un client dégustera un apéritif, une entrée, un plat chaud et un dessert.
    D’apreˋs le principe multiplicatif :\red{\text{D'après le principe multiplicatif :}}
    card(A×E×P×D)=card(A)×card(E)×card(P)×card(D)\text{card}\left(A\times E\times P\times D\right)=\text{card}\left(A\right)\times\text{card}\left(E\right)\times\text{card}\left(P\right)\times\text{card}\left(D\right)
    card(A×E×P×D)=3×4×2×5\text{card}\left(A\times E\times P\times D\right)=3 \times 4 \times 2 \times 5
    Ainsi :
    card(A×E×P×D)=120\text{card}\left(A\times E\times P\times D\right)=120

    Finalement, il y a 120120 possibilités de constituer un menu.