Combinatoire et dénombrement

Cardinal d'un ensemble et produit cartésien - Exercice 2

3 min
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On considère l'ensemble A={0;1;2;3;4}A=\left\{0;1;2;3;4\right\} et l'ensemble B={x;y;z;t}B=\left\{x;y;z;t \right\}
Question 1

Déterminer le nombre d’éléments de A∪BA \cup B et donner ensuite exprimer l'ensemble A∪BA \cup B .

Correction
  • On appelle cardinal d'un ensemble EE et on note card(E)\text{card}\left(E\right), le nombre d'éléments de EE .
  • L’ensemble AA est composée de 55 éléments donc
    card(A)=5\text{card}\left(A\right)=5
  • L’ensemble BB est composée de 44 éléments donc
    card(B)=4\text{card}\left(B\right)=4
    • Les ensembles AA et BB n'ont aucun élément en commun. On dit que les ensembles AA et BB sont disjoints .\purple{\text{disjoints .}}
    Ainsi :
    card(A∪B)=card(A)+card(B)−card(A∩B)\text{card}\left(A\cup B\right)=\text{card}\left(A\right)+\text{card}\left(B\right)-\text{card}\left(A\cap B\right) où card(A∩B)=0\text{card}\left(A\cap B\right)=0 car les ensembles AA et BB sont disjoints.
    card(A∪B)=5+4−0\text{card}\left(A\cup B\right)=5+4-0
    Ainsi :
    card(A∪B)=9\text{card}\left(A\cup B\right)=9

    L’ensemble A∪BA\cup B est composé des éléments de AA ou des éléments de BB, ce qui nous donne : A∪B={0;1;2;3;4;x;y;z;t}A\cup B=\left\{0;1;2;3;4;x;y;z;t\right\}
    Question 2

    Déterminer le nombre d’éléments de A×BA \times B et donner ensuite deux éléments appartenant à cet ensemble .

    Correction
  • On appelle cardinal d'un ensemble EE et on note card(E)\text{card}\left(E\right), le nombre d'éléments de EE .
  • L’ensemble AA est composée de 55 éléments donc
    card(A)=5\text{card}\left(A\right)=5
  • L’ensemble BB est composée de 44 éléments donc
    card(B)=4\text{card}\left(B\right)=4
      • Principe multiplicatif\red{\text{Principe multiplicatif}}
    • A1,A2,A3,…,AnA_{1} ,A_{2} ,A_{3} ,\ldots ,A_{n} sont nn ensembles finis alors : card(A1×A2×A3×…×An)=card(A1)×card(A2)×card(A3)×…×card(An)\text{card}\left(A_{1} \times A_{2} \times A_{3} \times \ldots \times A_{n} \right)=\text{card}\left(A_{1}\right)\times\text{card}\left(A_{2}\right)\times\text{card}\left(A_{3}\right) \times\ldots \times\text{card}\left( A_{n} \right)
    Ainsi :
    card(A×B)=card(A)×card(B)\text{card}\left(A\times B\right)=\text{card}\left(A\right)\times\text{card}\left(B\right)
    card(A×B)=5×4\text{card}\left(A\times B\right)=5 \times 4
    Ainsi :
    card(A×B)=20\text{card}\left(A\times B\right)=20

    Finalement, il existe 2020 couples appartenant à l'ensemble A×BA\times B .
      Soient A1A_{1} et A2A_{2} deux ensembles finis
  • L'ensemble A1×A2A_{1}\times A_{2} est l'ensemble des couples (X;Y)\left(X;Y\right) tels que X∈A1X \in A_{1} et Y∈A2Y \in A_{2}
    • Par exemple, les couples (0;x)\left(0;x\right) et (2;t)\left(2;t\right) sont bien deux éléments du produit cartésien A×BA\times B .