Calculer à l'aide des coefficients binomiaux - Exercice 3

Il s'agit donc de la relation de Pascal que nous allons déterminer.

$$\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p-1} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p} \end{array}\right)=\frac{\left(n-1\right)!}{\left(p-1\right)!\left(n-1-\left(p-1\right)\right)!} +\frac{\left(n-1\right)!}{p!\left(n-1-p\right)!}$$
$$\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p-1} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p} \end{array}\right)=\frac{\left(n-1\right)!}{\left(p-1\right)!\left(n-1-p+1\right)!} +\frac{\left(n-1\right)!}{p!\left(n-1-p\right)!}$$
$$\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p-1} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p} \end{array}\right)=\frac{\left(n-1\right)!}{\left(p-1\right)!\left(n-p\right)!} +\frac{\left(n-1\right)!}{p!\left(n-1-p\right)!}$$
Nous allons maintenant tout mettre au même dénominateur afin que nous obtenions au dénominateur $$p!\left(n-p\right)!$$ . Pour cela la première fraction il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par $$\red{p}$$ et la deuxième fraction il faut multilier le numérateur et le dénominateur par $$\blue{\left(n-p\right)}$$ .
$$\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p-1} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p} \end{array}\right)=\frac{\left(n-1\right)!\times \red{p}}{\left(p-1\right)!\times \red{p}\times \left(n-p\right)!} +\frac{\left(n-1\right)!\times \blue{\left(n-p\right)}}{p!\left(n-1-p\right)!\times \blue{\left(n-p\right)}}$$
Ensuite il est important de comprendre que : $$\left(p-1\right)!\times \red{p}=p!$$ et que $$\left(n-1-p\right)!\times \blue{\left(n-p\right)}=\left(n-p\right)!$$ ce qui nous donne :
$$\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p-1} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p} \end{array}\right)=\frac{\left(n-1\right)!\times p}{p!\left(n-p\right)!} +\frac{\left(n-1\right)!\times \left(n-p\right)}{p!\left(n-p\right)!}$$
$$\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p-1} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p} \end{array}\right)=\frac{\left(n-1\right)!\times p+\left(n-1\right)!\times \left(n-p\right)}{p!\left(n-p\right)!}$$
Nous allons maintenant factoriser le numérateur par $$\left(n-1\right)!$$ on a alors :
$$\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p-1} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p} \end{array}\right)=\frac{\left(n-1\right)!\times \left[p+n-p\right]}{p!\left(n-p\right)!}$$
$$\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p-1} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p} \end{array}\right)=\frac{\left(n-1\right)!\times n}{p!\left(n-p\right)!}$$
Enfin il est important de comprendre que : $$\left(n-1\right)!\times n=n!$$
$$\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p-1} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p} \end{array}\right)=\frac{n!}{p!\left(n-p\right)!}$$
Finalement :