Combinatoire et dénombrement

Calculer à l'aide des coefficients binomiaux - Exercice 3

10 min
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Question 1

Soient nn et pp deux entiers naturels non nuls. Démontrer que (n−1p−1)+(n−1p)=(np)\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p-1} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {n} \\ {p} \end{array}\right)

Correction
    Relation de Pascal\red{\text{Relation de Pascal}}
Pour tout entier naturel nn et pour tout entier naturel pp non nul, on a :
  • (n−1p−1)+(n−1p)=(np)\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p-1} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {n} \\ {p} \end{array}\right)
    • Il s'agit donc de la relation de Pascal que nous allons déterminer.
  • (np)=n!p!(n−p)!\left(\begin{array}{c} {n} \\ {p} \end{array}\right)=\frac{n!}{p!\left(n-p\right)!}

    • (n−1p−1)+(n−1p)=(n−1)!(p−1)!(n−1−(p−1))!+(n−1)!p!(n−1−p)!\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p-1} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p} \end{array}\right)=\frac{\left(n-1\right)!}{\left(p-1\right)!\left(n-1-\left(p-1\right)\right)!} +\frac{\left(n-1\right)!}{p!\left(n-1-p\right)!}
    (n−1p−1)+(n−1p)=(n−1)!(p−1)!(n−1−p+1)!+(n−1)!p!(n−1−p)!\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p-1} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p} \end{array}\right)=\frac{\left(n-1\right)!}{\left(p-1\right)!\left(n-1-p+1\right)!} +\frac{\left(n-1\right)!}{p!\left(n-1-p\right)!}
    (n−1p−1)+(n−1p)=(n−1)!(p−1)!(n−p)!+(n−1)!p!(n−1−p)!\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p-1} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p} \end{array}\right)=\frac{\left(n-1\right)!}{\left(p-1\right)!\left(n-p\right)!} +\frac{\left(n-1\right)!}{p!\left(n-1-p\right)!}
    Nous allons maintenant tout mettre au même dénominateur afin que nous obtenions au dénominateur p!(n−p)!p!\left(n-p\right)! . Pour cela la première fraction il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par p\red{p} et la deuxième fraction il faut multilier le numérateur et le dénominateur par (n−p)\blue{\left(n-p\right)} .
    (n−1p−1)+(n−1p)=(n−1)!×p(p−1)!×p×(n−p)!+(n−1)!×(n−p)p!(n−1−p)!×(n−p)\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p-1} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p} \end{array}\right)=\frac{\left(n-1\right)!\times \red{p}}{\left(p-1\right)!\times \red{p}\times \left(n-p\right)!} +\frac{\left(n-1\right)!\times \blue{\left(n-p\right)}}{p!\left(n-1-p\right)!\times \blue{\left(n-p\right)}}
    Ensuite il est important de comprendre que : (p−1)!×p=p!\left(p-1\right)!\times \red{p}=p! et que (n−1−p)!×(n−p)=(n−p)!\left(n-1-p\right)!\times \blue{\left(n-p\right)}=\left(n-p\right)! ce qui nous donne :
    (n−1p−1)+(n−1p)=(n−1)!×pp!(n−p)!+(n−1)!×(n−p)p!(n−p)!\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p-1} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p} \end{array}\right)=\frac{\left(n-1\right)!\times p}{p!\left(n-p\right)!} +\frac{\left(n-1\right)!\times \left(n-p\right)}{p!\left(n-p\right)!}
    (n−1p−1)+(n−1p)=(n−1)!×p+(n−1)!×(n−p)p!(n−p)!\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p-1} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p} \end{array}\right)=\frac{\left(n-1\right)!\times p+\left(n-1\right)!\times \left(n-p\right)}{p!\left(n-p\right)!}
    Nous allons maintenant factoriser le numérateur par (n−1)!\left(n-1\right)! on a alors :
    (n−1p−1)+(n−1p)=(n−1)!×[p+n−p]p!(n−p)!\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p-1} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p} \end{array}\right)=\frac{\left(n-1\right)!\times \left[p+n-p\right]}{p!\left(n-p\right)!}
    (n−1p−1)+(n−1p)=(n−1)!×np!(n−p)!\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p-1} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p} \end{array}\right)=\frac{\left(n-1\right)!\times n}{p!\left(n-p\right)!}
    Enfin il est important de comprendre que : (n−1)!×n=n!\left(n-1\right)!\times n=n!
    (n−1p−1)+(n−1p)=n!p!(n−p)!\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p-1} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p} \end{array}\right)=\frac{n!}{p!\left(n-p\right)!}
    Finalement :
    (n−1p−1)+(n−1p)=(np)\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p-1} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {p} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {n} \\ {p} \end{array}\right)