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Combinatoire et dénombrement
Calculer à l'aide des coefficients binomiaux - Exercice 1
5 min
10
Question 1
A l'aide de la calculatrice, donnez les résultats des coefficients binomiaux suivants :
a
.
\bf{a.}
a.
(
5
2
)
\left(\begin{array}{c} {5} \\ {2} \end{array}\right)
(
5
2
)
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;
b
.
\bf{b.}
b.
(
9
6
)
\left(\begin{array}{c} {9} \\ {6} \end{array}\right)
(
9
6
)
c
.
\bf{c.}
c.
(
10
8
)
\left(\begin{array}{c} {10} \\ {8} \end{array}\right)
(
10
8
)
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;
d
.
\bf{d.}
d.
(
4
4
)
\left(\begin{array}{c} {4} \\ {4} \end{array}\right)
(
4
4
)
Correction
(
n
p
)
\left(\begin{array}{c} {n} \\ {p} \end{array}\right)
(
n
p
)
est appelé coefficient binomial et se prononce "
p
p
p
parmi
n
n
n
" .
(
n
p
)
=
n
!
p
!
(
n
−
p
)
!
\left(\begin{array}{c} {n} \\ {p} \end{array}\right)=\frac{n!}{p!\left(n-p\right)!}
(
n
p
)
=
p
!
(
n
−
p
)
!
n
!
0
!
=
1
0!=1
0
!
=
1
a
.
\bf{a.}
a.
(
5
2
)
=
5
!
2
!
(
5
−
2
)
!
\left(\begin{array}{c} {5} \\ {2} \end{array}\right)=\frac{5!}{2!\left(5-2\right)!}
(
5
2
)
=
2
!
(
5
−
2
)
!
5
!
ainsi
(
5
2
)
=
10
\left(\begin{array}{c} {5} \\ {2} \end{array}\right)= 10
(
5
2
)
=
10
.
b
.
\bf{b.}
b.
(
9
6
)
=
9
!
6
!
(
9
−
6
)
!
\left(\begin{array}{c} {9} \\ {6} \end{array}\right)=\frac{9!}{6!\left(9-6\right)!}
(
9
6
)
=
6
!
(
9
−
6
)
!
9
!
ainsi
(
9
6
)
=
84
\left(\begin{array}{c} {9} \\ {6} \end{array}\right)=84
(
9
6
)
=
84
.
c
.
\bf{c.}
c.
(
10
8
)
=
10
!
8
!
(
10
−
8
)
!
\left(\begin{array}{c} {10} \\ {8} \end{array}\right)=\frac{10!}{8!\left(10-8\right)!}
(
10
8
)
=
8
!
(
10
−
8
)
!
10
!
ainsi
(
10
8
)
=
45
\left(\begin{array}{c} {10} \\ {8} \end{array}\right)=45
(
10
8
)
=
45
.
d
.
\bf{d.}
d.
(
4
4
)
=
4
!
4
!
(
4
−
4
)
!
\left(\begin{array}{c} {4} \\ {4} \end{array}\right)=\frac{4!}{4!\left(4-4\right)!}
(
4
4
)
=
4
!
(
4
−
4
)
!
4
!
ainsi
(
4
4
)
=
1
\left(\begin{array}{c} {4} \\ {4} \end{array}\right)=1
(
4
4
)
=
1
.