Calcul intégral

Valeur moyenne - Exercice 5

7 min
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On considère la fonction ff continue sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[ par f(x)=2e−3x+1f\left(x\right)=2e^{-3x+1}
Question 1

Déterminer une primitive de ff sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[

Correction
On reconnait une forme u′euu'e^{u}
Question 2

Calculer la valeur moyenne de ff sur l'intervalle [0;2]\left[0;2\right]

Correction
m=12−0∫02(2e−3x+1)dxm=\frac{1}{2-0} \int _{0}^{2}\left(2e^{-3x+1} \right) dx équivaut successivement à
m=12[−23e−3x+1]02m=\frac{1}{2} \left[-\frac{2}{3} e^{-3x+1} \right]_{0}^{2}
m=12((−23e−5)−(−23e1))m=\frac{1}{2} \left(\left(-\frac{2}{3} e^{-5} \right)-\left(-\frac{2}{3} e^{1} \right)\right)
m=−13e−5+13e1m=-\frac{1}{3} e^{-5} +\frac{1}{3} e^{1}
Finalement :
m=13(e1−e−5)m=\frac{1}{3} \left(e^{1} -e^{-5} \right)