Calcul intégral

Valeur moyenne - Exercice 4

7 min
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On considère la fonction ff continue sur ]−15;+∞[\left]-\frac{1}{5} ;+\infty \right[ par f(x)=25x+1f\left(x\right)=\frac{2}{5x+1}
Question 1

Déterminer une primitive de ff sur ]−15;+∞[\left]-\frac{1}{5} ;+\infty \right[

Correction
On reconnait une forme u′u\frac{u'}{u}
Question 2

Calculer la valeur moyenne de ff sur l'intervalle [3;5]\left[3;5\right]

Correction
m=15−3∫35(25x+1)dxm=\frac{1}{5-3} \int _{3}^{5}\left(\frac{2}{5x+1} \right) dx équivaut successivement à
m=12[25ln⁡(5x+1)]35m=\frac{1}{2} \left[\frac{2}{5} \ln \left(5x+1\right)\right]_{3}^{5}
m=12((25ln⁡(25+1))−(25ln⁡(15+1)))m=\frac{1}{2} \left(\left(\frac{2}{5} \ln \left(25+1\right)\right)-\left(\frac{2}{5} \ln \left(15+1\right)\right)\right)
m=12((25ln⁡(26))−(25ln⁡(16)))m=\frac{1}{2} \left(\left(\frac{2}{5} \ln \left(26\right)\right)-\left(\frac{2}{5} \ln \left(16\right)\right)\right)
m=15ln⁡(26)−15ln⁡(16)m=\frac{1}{5} \ln \left(26\right)-\frac{1}{5} \ln \left(16\right)
Finalement :
m=15ln⁡(2616)m=\frac{1}{5} \ln \left(\frac{26}{16} \right)