Calcul intégral

Valeur moyenne - Exercice 3

5 min
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Question 1
On considère la fonction ff continue sur [0;π]\left[0 ;\pi \right] par f(x)=3sin⁡(2x)f\left(x\right)=3\sin \left(2x\right) .

Calculer la valeur moyenne de ff sur l'intervalle [0;π]\left[0 ;\pi \right] .

Correction
  • Une primitive de sin⁡(ax+b)\sin \left(ax+b\right) est −1acos⁡(ax+b)-\frac{1}{a} \cos \left(ax+b\right)
    • Soit ff une fonction continue sur un intervalle [a;b]\left[a;b\right].
    La valeur moyenne de la fonction ff sur [a;b]\left[a;b\right] est le réel mm défini par : m=1b−a∫abf(x)dxm=\frac{1}{b-a} \int _{a}^{b}f\left(x\right) dx
    m=1π−0∫0π3sin⁡(2x)dxm=\frac{1}{\pi -0} \int _{0}^{\pi }3\sin \left(2x\right) dx
    m=1π[−3×12cos⁡(2x)]0πm=\frac{1}{\pi } \left[-3\times \frac{1}{2} \cos \left(2x\right)\right]_{0}^{\pi }
    m=1π[−32cos⁡(2x)]0πm=\frac{1}{\pi } \left[-\frac{3}{2} \cos \left(2x\right)\right]_{0}^{\pi }
    m=1π(−32cos⁡(2π)−(−32cos⁡(2×0)))m=\frac{1}{\pi } \left(-\frac{3}{2} \cos \left(2\pi \right)-\left(-\frac{3}{2} \cos \left(2\times 0\right)\right)\right)
    m=1π(−32cos⁡(2π)−(−32cos⁡(0)))m=\frac{1}{\pi } \left(-\frac{3}{2} \cos \left(2\pi \right)-\left(-\frac{3}{2} \cos \left(0\right)\right)\right)
    m=1π(−32×1−(−32×1))m=\frac{1}{\pi } \left(-\frac{3}{2} \times 1-\left(-\frac{3}{2} \times 1\right)\right)
    m=1π(−32+32)m=\frac{1}{\pi } \left(-\frac{3}{2} +\frac{3}{2} \right)
    Finalement :
    m=0m=0