Calcul intégral

Valeur moyenne - Exercice 2

5 min
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On considère la fonction ff continue sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[ par f(x)=3x2+1f\left(x\right)=3x^{2}+1 .
Question 1

Déterminer une primitive de ff sur ];+[\left]-\infty ;+\infty \right[

Correction
F(x)=3×13x3+xF\left(x\right)=3\times \frac{1}{3}x^{3} +x
F(x)=x3+xF\left(x\right)=x^{3} +x
Comme on veut une primitive on n'a pas besoin de mettre le kRk\in \mathbb{R}
Question 2

Calculer la valeur moyenne de ff sur l'intervalle [3;5]\left[3;5\right] .

Correction
Soit ff une fonction continue sur un intervalle [a;b]\left[a;b\right].
La valeur moyenne de la fonction ff sur [a;b]\left[a;b\right] est le réel mm défini par : m=1baabf(x)dxm=\frac{1}{b-a} \int _{a}^{b}f\left(x\right) dx
m=15335(3x2+1)dxm=\frac{1}{5-3} \int _{3}^{5}\left(3x^{2}+1\right) dx équivaut successivement à
m=12[x3+x]35m=\frac{1}{2} \left[x^{3} +x\right]_{3}^{5}
m=12(53+5(33+3))m=\frac{1}{2} \left(5^{3} +5-\left(3^{3} +3\right)\right)
m=12(125+5(27+3))m=\frac{1}{2} \left(125+5-\left(27+3\right)\right)
m=12×100m=\frac{1}{2} \times 100
Finalement :
m=50m=50