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Calcul intégral
Valeur moyenne - Exercice 2
5 min
10
On considère la fonction
f
f
f
continue sur
]
−
∞
;
+
∞
[
\left]-\infty ;+\infty \right[
]
−
∞
;
+
∞
[
par
f
(
x
)
=
3
x
2
+
1
f\left(x\right)=3x^{2}+1
f
(
x
)
=
3
x
2
+
1
.
Question 1
Déterminer une primitive de
f
f
f
sur
]
−
∞
;
+
∞
[
\left]-\infty ;+\infty \right[
]
−
∞
;
+
∞
[
Correction
F
(
x
)
=
3
×
1
3
x
3
+
x
F\left(x\right)=3\times \frac{1}{3}x^{3} +x
F
(
x
)
=
3
×
3
1
x
3
+
x
F
(
x
)
=
x
3
+
x
F\left(x\right)=x^{3} +x
F
(
x
)
=
x
3
+
x
Comme on veut une primitive on n'a pas besoin de mettre le
k
∈
R
k\in \mathbb{R}
k
∈
R
Question 2
Calculer la valeur moyenne de
f
f
f
sur l'intervalle
[
3
;
5
]
\left[3;5\right]
[
3
;
5
]
.
Correction
Soit
f
f
f
une fonction continue sur un intervalle
[
a
;
b
]
\left[a;b\right]
[
a
;
b
]
.
La valeur moyenne de la fonction
f
f
f
sur
[
a
;
b
]
\left[a;b\right]
[
a
;
b
]
est le réel
m
m
m
défini par :
m
=
1
b
−
a
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
m=\frac{1}{b-a} \int _{a}^{b}f\left(x\right) dx
m
=
b
−
a
1
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
m
=
1
5
−
3
∫
3
5
(
3
x
2
+
1
)
d
x
m=\frac{1}{5-3} \int _{3}^{5}\left(3x^{2}+1\right) dx
m
=
5
−
3
1
∫
3
5
(
3
x
2
+
1
)
d
x
équivaut successivement à
m
=
1
2
[
x
3
+
x
]
3
5
m=\frac{1}{2} \left[x^{3} +x\right]_{3}^{5}
m
=
2
1
[
x
3
+
x
]
3
5
m
=
1
2
(
5
3
+
5
−
(
3
3
+
3
)
)
m=\frac{1}{2} \left(5^{3} +5-\left(3^{3} +3\right)\right)
m
=
2
1
(
5
3
+
5
−
(
3
3
+
3
)
)
m
=
1
2
(
125
+
5
−
(
27
+
3
)
)
m=\frac{1}{2} \left(125+5-\left(27+3\right)\right)
m
=
2
1
(
125
+
5
−
(
27
+
3
)
)
m
=
1
2
×
100
m=\frac{1}{2} \times 100
m
=
2
1
×
100
Finalement :
m
=
50
m=50
m
=
50