Se connecter
S'inscrire
Formules
Blog
Se connecter
Retour au chapitre
Calcul intégral
Valeur moyenne - Exercice 1
5 min
10
On considère la fonction
f
f
f
continue sur
]
−
∞
;
+
∞
[
\left]-\infty ;+\infty \right[
]
−
∞
;
+
∞
[
par
f
(
x
)
=
2
x
+
2
f\left(x\right)=2x+2
f
(
x
)
=
2
x
+
2
.
Question 1
Déterminer une primitive de
f
f
f
sur
]
−
∞
;
+
∞
[
\left]-\infty ;+\infty \right[
]
−
∞
;
+
∞
[
Correction
F
(
x
)
=
2
×
1
2
x
2
+
2
x
F\left(x\right)=2\times \frac{1}{2}x^{2} +2x
F
(
x
)
=
2
×
2
1
x
2
+
2
x
F
(
x
)
=
x
2
+
2
x
F\left(x\right)=x^{2} +2x
F
(
x
)
=
x
2
+
2
x
Comme on veut une primitive on n'a pas besoin de mettre le
k
∈
R
k\in \mathbb{R}
k
∈
R
Question 2
Calculer la valeur moyenne de
f
f
f
sur l'intervalle
[
2
;
6
]
\left[2;6\right]
[
2
;
6
]
Correction
Soit
f
f
f
une fonction continue sur un intervalle
[
a
;
b
]
\left[a;b\right]
[
a
;
b
]
.
La valeur moyenne de la fonction
f
f
f
sur
[
a
;
b
]
\left[a;b\right]
[
a
;
b
]
est le réel
m
m
m
défini par :
m
=
1
b
−
a
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
m=\frac{1}{b-a} \int _{a}^{b}f\left(x\right) dx
m
=
b
−
a
1
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
m
=
1
6
−
2
∫
2
6
(
2
x
+
2
)
d
x
m=\frac{1}{6-2} \int _{2}^{6}\left(2x+2\right) dx
m
=
6
−
2
1
∫
2
6
(
2
x
+
2
)
d
x
équivaut successivement à
m
=
1
4
[
x
2
+
2
x
]
2
6
m=\frac{1}{4} \left[x^{2} +2x\right]_{2}^{6}
m
=
4
1
[
x
2
+
2
x
]
2
6
m
=
1
4
(
(
6
2
+
2
×
6
)
−
(
2
2
+
2
×
2
)
)
m=\frac{1}{4} \left(\left(6^{2} +2\times 6\right)-\left(2^{2} +2\times 2\right)\right)
m
=
4
1
(
(
6
2
+
2
×
6
)
−
(
2
2
+
2
×
2
)
)
Finalement :
m
=
10
m=10
m
=
10