Calcul intégral

Positivité de l'intégrale et suites - Exercice 6

10 min
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Question 1
Pour tout entier naturel nn non nul, on pose In=01(22t)entdtI_{n} =\int _{0}^{1}\left(2-2t\right)e^{-nt} dt

Montrer que In0I_{n} \ge 0

Correction
Positivité de l'intégrale.
Soit ff une fonction continue sur un intervalle [a;b]\left[a;b\right].
  • Si f(x)0f\left(x\right)\ge 0 sur [a;b]\left[a;b\right] alors abf(x)dx0\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\ge 0
Soit t[0;1]t\in \left[0;1\right] , on a :
0t102t222t002t+220\le t\le 1\Leftrightarrow 0\ge -2t\ge -2\Leftrightarrow -2\le -2t\le 0\Leftrightarrow 0\le -2t+2\le 2
Ainsi : 2t+20-2t+2\ge 0 . Or, pour tout t[0;1]t\in \left[0;1\right] , on vérifie aisément que ent>0e^{-nt}>0.
Donc, pour tout t[0;1]t\in \left[0;1\right], (22t)ent0\left(2-2t\right)e^{-nt} \ge 0
On peut conclure que : 01(gn(x))dx0\int _{0}^{1}\left(g_{n} \left(x\right)\right)dx \ge 0 .
Finalement :
In0I_{n} \ge 0