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Positivité de l'intégrale et suites - Exercice 5

15 min
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Pour tout entier naturel nn non nul, on pose In=∫nn+1(1x2)dxI_{n} =\int _{n}^{n+1}\left(\frac{1}{x^{2} } \right)dx
Question 1

Démontrer que 1(n+1)2≤In≤1n2\frac{1}{\left(n+1\right)^{2} } \le I_{n} \le \frac{1}{n^{2} }

Correction
Intégration d'une inégalité :
Si f≥gf\ge g sur [a;b]\left[a;b\right] alors ∫abf(x)dx≥∫abg(x)dx\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\ge \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
On sait que In=∫nn+1(1x2)dxI_{n} =\int _{n}^{n+1}\left(\frac{1}{x^{2} } \right)dx , autrement dit :
n≤x≤n+1⇔n2≤x2≤(n+1)2n\le x\le n+1\Leftrightarrow n^{2} \le x^{2} \le \left(n+1\right)^{2} , on compose par la fonction inverse.
Il vient alors que :
1(n+1)2≤1x2≤1n2\frac{1}{\left(n+1\right)^{2} } \le \frac{1}{x^{2} } \le \frac{1}{n^{2} }
Ainsi : ∫nn+11(n+1)2dx≤∫nn+11x2dx≤∫nn+11n2dx\int _{n}^{n+1}\frac{1}{\left(n+1\right)^{2} } dx\le \int _{n}^{n+1}\frac{1}{x^{2} } dx\le \int _{n}^{n+1}\frac{1}{n^{2} } dx.
 Calculons d’une part :\red{\text{ Calculons d'une part :}} ∫nn+11(n+1)2dx=[x(n+1)2]nn+1=(n+1(n+1)2)−(n(n+1)2)=1(n+1)2\int _{n}^{n+1}\frac{1}{\left(n+1\right)^{2} } dx=\left[\frac{x}{\left(n+1\right)^{2} } \right]_{n}^{n+1} =\left(\frac{n+1}{\left(n+1\right)^{2} } \right)-\left(\frac{n}{\left(n+1\right)^{2} } \right)=\frac{1}{\left(n+1\right)^{2} }
 Calculons d’autre part :\red{\text{ Calculons d'autre part :}} ∫nn+11n2dx=[xn2]nn+1=(n+1n2)−(nn2)=1n2\int _{n}^{n+1}\frac{1}{n^{2} } dx=\left[\frac{x}{n^{2} } \right]_{n}^{n+1} =\left(\frac{n+1}{n^{2} } \right)-\left(\frac{n}{n^{2} } \right)=\frac{1}{n^{2} }
Il en résulte que :
1(n+1)2≤In≤1n2\frac{1}{\left(n+1\right)^{2} } \le I_{n} \le \frac{1}{n^{2} }
Question 2

Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite (In)\left(I_{n}\right) ?

Correction
 Calculons d’une part :\red{\text{ Calculons d'une part :}} lim⁡n→+∞1n2=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1}{n^{2} } =0
 Calculons d’autre part :\red{\text{ Calculons d'autre part :}} lim⁡n→+∞1(n+1)2=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1}{\left(n+1\right)^{2} } =0
Comme : 1(n+1)2≤In≤1n2\frac{1}{\left(n+1\right)^{2} } \le I_{n} \le \frac{1}{n^{2} }
Alors d'après le théorème des gendarmes :
lim⁡n→+∞In=0\lim\limits_{n\to +\infty } I_{n} =0

Finalement la suite (In)\left(I_{n}\right) converge.

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