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Calcul intégral
Positivité de l'intégrale et suites - Exercice 4
10 min
25
Pour tout entier naturel
n
n
n
, on considère la fonction
g
n
g_{n}
g
n
définie sur
[
0
;
1
]
\left[0;1\right]
[
0
;
1
]
par la relation
g
n
(
x
)
=
x
n
e
−
2
x
g_{n} \left(x\right)=x^{n} e^{-2x}
g
n
(
x
)
=
x
n
e
−
2
x
On définit la suite
(
v
n
)
\left(v_{n} \right)
(
v
n
)
par
v
n
=
∫
0
1
(
g
n
(
x
)
)
d
x
v_{n} =\int _{0}^{1}\left(g_{n} \left(x\right)\right)dx
v
n
=
∫
0
1
(
g
n
(
x
)
)
d
x
Intégration d'une inégalité :
Si
f
≥
g
f\ge g
f
≥
g
sur
[
a
;
b
]
\left[a;b\right]
[
a
;
b
]
alors
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≥
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\ge \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≥
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
Question 1
Montrer que
(
v
n
)
\left(v_{n} \right)
(
v
n
)
est décroissante.
Correction
Soient
v
n
=
∫
0
1
(
x
n
e
−
2
x
)
d
x
v_{n} =\int _{0}^{1}\left(x^{n} e^{-2x} \right)dx
v
n
=
∫
0
1
(
x
n
e
−
2
x
)
d
x
et
v
n
=
∫
0
1
(
x
n
+
1
e
−
2
x
)
d
x
v_{n} =\int _{0}^{1}\left(x^{n+1} e^{-2x} \right)dx
v
n
=
∫
0
1
(
x
n
+
1
e
−
2
x
)
d
x
Soient
x
∈
[
0
;
1
]
x\in \left[0;1\right]
x
∈
[
0
;
1
]
ainsi :
x
n
+
1
≤
x
n
x^{n+1} \le x^{n}
x
n
+
1
≤
x
n
Or
e
−
2
x
>
0
e^{-2x} >0
e
−
2
x
>
0
donc
x
n
+
1
e
−
2
x
≤
x
n
e
−
2
x
x^{n+1} e^{-2x} \le x^{n} e^{-2x}
x
n
+
1
e
−
2
x
≤
x
n
e
−
2
x
Il en résulte que :
∫
1
2
2
x
n
+
1
1
+
x
2
d
x
≤
∫
1
2
2
x
n
1
+
x
2
d
x
\int _{1}^{2}\frac{2x^{n+1} }{1+x^{2} } dx \le \int _{1}^{2}\frac{2x^{n} }{1+x^{2} } dx
∫
1
2
1
+
x
2
2
x
n
+
1
d
x
≤
∫
1
2
1
+
x
2
2
x
n
d
x
Autrement dit :
v
n
+
1
≤
v
n
v_{n+1} \le v_{n}
v
n
+
1
≤
v
n
Finalement :
v
n
+
1
−
v
n
≤
0
v_{n+1} -v_{n} \le 0
v
n
+
1
−
v
n
≤
0
La suite
(
v
n
)
\left(v_{n} \right)
(
v
n
)
est décroissante.