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Positivité de l'intégrale et suites - Exercice 4

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Pour tout entier naturel nn, on considère la fonction gng_{n} définie sur [0;1]\left[0;1\right] par la relation gn(x)=xne−2xg_{n} \left(x\right)=x^{n} e^{-2x}
On définit la suite (vn)\left(v_{n} \right) par vn=∫01(gn(x))dxv_{n} =\int _{0}^{1}\left(g_{n} \left(x\right)\right)dx
Intégration d'une inégalité :
Si f≥gf\ge g sur [a;b]\left[a;b\right] alors ∫abf(x)dx≥∫abg(x)dx\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\ge \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
Question 1

Montrer que (vn)\left(v_{n} \right) est décroissante.

Correction
Soient vn=∫01(xne−2x)dxv_{n} =\int _{0}^{1}\left(x^{n} e^{-2x} \right)dx et vn=∫01(xn+1e−2x)dxv_{n} =\int _{0}^{1}\left(x^{n+1} e^{-2x} \right)dx
Soient x∈[0;1]x\in \left[0;1\right] ainsi : xn+1≤xnx^{n+1} \le x^{n}
Or e−2x>0e^{-2x} >0 donc xn+1e−2x≤xne−2xx^{n+1} e^{-2x} \le x^{n} e^{-2x}
Il en résulte que : ∫122xn+11+x2dx≤∫122xn1+x2dx\int _{1}^{2}\frac{2x^{n+1} }{1+x^{2} } dx \le \int _{1}^{2}\frac{2x^{n} }{1+x^{2} } dx
Autrement dit : vn+1≤vnv_{n+1} \le v_{n}
Finalement :
vn+1−vn≤0v_{n+1} -v_{n} \le 0

La suite (vn)\left(v_{n} \right) est décroissante.

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