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Positivité de l'intégrale et suites - Exercice 3

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Pour tout entier naturel nn, on considère la fonction gng_{n} définie sur [1;2]\left[1;2\right] par la relation gn(x)=2xn1+x2g_{n} \left(x\right)=\frac{2x^{n} }{1+x^{2} }
On définit la suite (vn)\left(v_{n} \right) par vn=∫12(gn(x))dxv_{n} =\int _{1}^{2}\left(g_{n} \left(x\right)\right)dx
Question 1

Montrer que (vn)\left(v_{n} \right) est croissante.

Correction
Intégration d'une inégalité :
Si f≥gf\ge g sur [a;b]\left[a;b\right] alors ∫abf(x)dx≥∫abg(x)dx\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\ge \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
Soient vn=∫122xn1+x2dxv_{n} =\int _{1}^{2}\frac{2x^{n} }{1+x^{2} } dx et vn+1=∫122xn+11+x2dxv_{n+1} =\int _{1}^{2}\frac{2x^{n+1} }{1+x^{2} } dx
Soient x∈[1;2]x\in \left[1;2\right] ainsi :
xn+1≥xn⇔2xn+1≥2xnx^{n+1} \ge x^{n} \Leftrightarrow 2x^{n+1} \ge 2x^{n}
Or 11+x2>0\frac{1}{1+x^{2} } >0 donc 2xn+11+x2≥2xn1+x2\frac{2x^{n+1} }{1+x^{2} } \ge \frac{2x^{n} }{1+x^{2} } .
Il en résulte que : ∫122xn+11+x2dx≥∫122xn1+x2dx\int _{1}^{2}\frac{2x^{n+1} }{1+x^{2} } dx \ge \int _{1}^{2}\frac{2x^{n} }{1+x^{2} } dx
Autrement dit : vn+1≥vnv_{n+1} \ge v_{n}
Finalement :
vn+1−vn≥0v_{n+1} -v_{n} \ge 0

La suite (vn)\left(v_{n} \right) est croissante.

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