Positivité de l'intégrale et suites - Exercice 2

Soit : $$x\in \left[0;1\right]$$, il en résulte que $$x^{n} \ge 0$$ et que $$e^{-2x} >0$$
Donc : $$x^{n} e^{-2x} \ge 0$$
Autrement dit : $$g_{n} \left(x\right)\ge 0$$
On peut conclure que : $$\int _{0}^{1}\left(g_{n} \left(x\right)\right)dx \ge 0$$.
Finalement :

Soit : $$x\in \left[0;1\right]$$
On a alors : $$0\le x\le 1$$ équivaut successivement à
$$-2\le -2x\le 0$$
$$e^{-2} \le e^{-2x} \le e^{0}$$
$$0\le e^{-2} \le e^{-2x} \le 1$$
On sait que : $$x^{n} \ge 0$$, on en déduit alors que : $$0\le x^{n} e^{-2x} \le x^{n}$$
Il en résulte que : $$\int _{0}^{1}0dx \le \int _{0}^{1}\left(x^{n} e^{-2x} \right) dx\le \int _{0}^{1}\left(x^{n} \right)dx$$
Finalement :

Calculons $$\int _{0}^{1}\left(x^{n} \right)dx =\left[\frac{1}{n+1} x^{n+1} \right]_{0}^{1}$$
D'où : $$\int _{0}^{1}\left(x^{n} \right)dx =\frac{1}{n+1}$$
D'après la question précédente, nous savons que :
$$0\le v_{n} \le \int _{0}^{1}\left(x^{n} \right)dx$$
Ainsi :
Or $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1}{n+1} =0$$ et $$0\le v_{n} \le \frac{1}{n+1}$$
Donc d'après le théorème des gendarmes :