Positivité de l'intégrale et suites - Exercice 2

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Pour tout entier naturel nn, on considère la fonction gng_{n} définie sur [0;1]\left[0;1\right] par la relation gn(x)=xne−2xg_{n} \left(x\right)=x^{n} e^{-2x}
On définit la suite (vn)\left(v_{n} \right) par vn=∫01(gn(x))dxv_{n} =\int _{0}^{1}\left(g_{n} \left(x\right)\right)dx
Question 1

Montrer que vn≥0v_{n} \ge 0 .

Correction
Positivité de l'intégrale.
Soit ff une fonction continue sur un intervalle [a;b]\left[a;b\right].
  • Si f(x)≥0f\left(x\right)\ge 0 sur [a;b]\left[a;b\right] alors ∫abf(x)dx≥0\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\ge 0
Soit : x∈[0;1]x\in \left[0;1\right], il en résulte que xn≥0x^{n} \ge 0 et que e−2x>0e^{-2x} >0
Donc : xne−2x≥0x^{n} e^{-2x} \ge 0
Autrement dit : gn(x)≥0g_{n} \left(x\right)\ge 0
On peut conclure que : ∫01(gn(x))dx≥0\int _{0}^{1}\left(g_{n} \left(x\right)\right)dx \ge 0 .
Finalement :
vn≥0v_{n} \ge 0
Question 2

Montrer que vn≤∫01(xn)dxv_{n} \le \int _{0}^{1}\left(x^{n} \right)dx

Correction
Intégration d'une inégalité :
Si f≥gf\ge g sur [a;b]\left[a;b\right] alors ∫abf(x)dx≥∫abg(x)dx\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\ge \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
Soit : x∈[0;1]x\in \left[0;1\right]
On a alors : 0≤x≤10\le x\le 1 équivaut successivement à
−2≤−2x≤0-2\le -2x\le 0
e−2≤e−2x≤e0e^{-2} \le e^{-2x} \le e^{0}
0≤e−2≤e−2x≤10\le e^{-2} \le e^{-2x} \le 1
On sait que : xn≥0x^{n} \ge 0, on en déduit alors que : 0≤xne−2x≤xn0\le x^{n} e^{-2x} \le x^{n}
Il en résulte que : ∫010dx≤∫01(xne−2x)dx≤∫01(xn)dx\int _{0}^{1}0dx \le \int _{0}^{1}\left(x^{n} e^{-2x} \right) dx\le \int _{0}^{1}\left(x^{n} \right)dx
Finalement :
0≤vn≤∫01(xn)dx0\le v_{n} \le \int _{0}^{1}\left(x^{n} \right)dx
Question 3

Montrer que lim⁡n→+∞vn=0\lim\limits_{n\to +\infty } v_{n} =0

Correction
Calculons ∫01(xn)dx=[1n+1xn+1]01\int _{0}^{1}\left(x^{n} \right)dx =\left[\frac{1}{n+1} x^{n+1} \right]_{0}^{1}
D'où : ∫01(xn)dx=1n+1\int _{0}^{1}\left(x^{n} \right)dx =\frac{1}{n+1}
D'après la question précédente, nous savons que :
0≤vn≤∫01(xn)dx0\le v_{n} \le \int _{0}^{1}\left(x^{n} \right)dx
Ainsi :
0≤vn≤1n+10\le v_{n} \le \frac{1}{n+1}

Or lim⁡n→+∞1n+1=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1}{n+1} =0 et 0≤vn≤1n+10\le v_{n} \le \frac{1}{n+1}
Donc d'après le théorème des gendarmes :
lim⁡n→+∞vn=0\lim\limits_{n\to +\infty } v_{n} =0

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