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Positivité de l'intégrale et suites - Exercice 1

15 min
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Pour tout entier naturel nn, on considère la fonction gng_{n} définie sur [0;1]\left[0;1\right] par la relation gn(x)=2xn1+x2g_{n} \left(x\right)=\frac{2x^{n} }{1+x^{2} }
On définit la suite (vn)\left(v_{n} \right) par vn=∫01(gn(x))dxv_{n} =\int _{0}^{1}\left(g_{n} \left(x\right)\right)dx
Question 1

Montrer que vn≥0v_{n} \ge 0

Correction
Positivité de l'intégrale.
Soit ff une fonction continue sur un intervalle [a;b]\left[a;b\right].
  • Si f(x)≥0f\left(x\right)\ge 0 sur [a;b]\left[a;b\right] alors ∫abf(x)dx≥0\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\ge 0
Soit : x∈[0;1]x\in \left[0;1\right], il en résulte que 2xn≥02x^{n} \ge 0 et que 1+x2≥01+x^{2} \ge 0.
Donc : 2xn1+x2≥0\frac{2x^{n} }{1+x^{2} } \ge 0
Autrement dit : gn(x)≥0g_{n} \left(x\right)\ge 0
On peut conclure que : ∫01(gn(x))dx≥0\int _{0}^{1}\left(g_{n} \left(x\right)\right)dx \ge 0 .
Finalement :
vn≥0v_{n} \ge 0
Question 2

Montrer que vn≤∫01(2xn)dxv_{n} \le \int _{0}^{1}\left(2x^{n} \right)dx

Correction
Soit : x∈[0;1]x\in \left[0;1\right]
On a alors :
0≤x2≤1⇔1≤x2+1≤20\le x^{2} \le 1\Leftrightarrow 1\le x^{2} +1\le 2
On compose par la fonction inverse, d'où :
12≤1x2+1≤1\frac{1}{2} \le \frac{1}{x^{2} +1} \le 1 équivaut à
2xn2≤2xnx2+1≤2xn\frac{2x^{n} }{2} \le \frac{2x^{n} }{x^{2} +1} \le 2x^{n}
On sait que : 2xn2≥0\frac{2x^{n} }{2} \ge 0
On en déduit alors que : 0≤2xn2≤2xnx2+1≤2xn0\le \frac{2x^{n} }{2} \le \frac{2x^{n} }{x^{2} +1} \le 2x^{n}
D'où : 0≤2xnx2+1≤2xn0\le \frac{2x^{n} }{x^{2} +1} \le 2x^{n}
Il en résulte que : ∫010dx≤∫012xnx2+1dx≤∫01(2xn)dx\int _{0}^{1}0dx \le \int _{0}^{1}\frac{2x^{n} }{x^{2} +1} dx\le \int _{0}^{1}\left(2x^{n} \right)dx
Finalement :
0≤vn≤∫01(2xn)dx0\le v_{n} \le \int _{0}^{1}\left(2x^{n} \right)dx
Question 3

Montrer que lim⁡n→+∞vn=0\lim\limits_{n\to +\infty } v_{n} =0

Correction
Calculons ∫01(2xn)dx=[2n+1xn+1]01\int _{0}^{1}\left(2x^{n} \right)dx =\left[\frac{2}{n+1} x^{n+1} \right]_{0}^{1}
D'où : ∫01(2xn)dx=2n+1\int _{0}^{1}\left(2x^{n} \right)dx =\frac{2}{n+1}
D'après la question précédente, nous savons que :
0≤vn≤∫01(2xn)dx0\le v_{n} \le \int _{0}^{1}\left(2x^{n} \right)dx
Ainsi :
0≤vn≤2n+10\le v_{n} \le \frac{2}{n+1}

Or lim⁡n→+∞2n+1=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{2}{n+1} =0 et 0≤vn≤2n+10\le v_{n} \le \frac{2}{n+1}
Donc d'après le théorème des gendarmes :
lim⁡n→+∞vn=0\lim\limits_{n\to +\infty } v_{n} =0

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