Les doubles intégrations par parties vues au bac depuis 2025 - Exercice 1

$$\int_a^1 f(x) \mathrm{d} x=\int_a^1 x(\ln x)^2 \mathrm{d} x$$
Pour tout réel $$x$$ de $$I=\left[a;1\right]$$, on pose :
$${\color{blue}{u\left(x\right)=(\ln x)^2}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$u'$$ $$\blue{\text{la dérivée}}$$ de $$u$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $$\quad$$ $${\color{red}{u'\left(x\right)=\frac{2 \ln x}{x}}}$$
$${\color{purple}{v'\left(x\right)=x}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$v$$ $$\blue{\text{une primitive}}$$ de $$v'$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $${\color{green}{v\left(x\right)=\frac{1}{2}x^2}}$$
Les fonctions $$\color{blue}{u}$$ et $$\color{green}{v}$$ sont dérivables sur $$I$$ et les fonctions $$\color{red}{u'}$$ et $$\color{purple}{v'}$$ sont continues sur $$I$$.
D'après la formule d'intégrations par parties :
$$\int_a^1 f(x) \mathrm{d} x=\int _{a}^{1}{\color{blue}{(\ln x)^2}}{\color{purple}{x}} dx$$
$$\int_a^1 f(x) \mathrm{d} x=\left[{\color{blue}{(\ln x)^2}}\times{\color{green}{\frac{1}{2}x^2}} \right]_{a}^{1} -\int _{a}^{1}{\color{red}{\frac{2 \ln x}{x}}}\times{\color{green}{\frac{1}{2}x^2}} dx$$
$$\int_a^1 f(x) \mathrm{d} x=\left[\frac{x^2}{2}(\ln x)^2\right]_a^1-\int_a^1 x \ln x d x$$
$$\int_a^1 f(x) \mathrm{d} x=\frac{1^2}{2}(\ln 1)^2-\frac{a^2}{2}(\ln a)^2-\int_a^1 x \ln x d x$$
Ainsi :

D'après la question précédente, on sait que :
$$\int_a^1 f(x) \mathrm{d} x=-\frac{a^2}{2}(\ln a)^2-\int_a^1 x \ln x \mathrm{~d} x$$
Il nous reste calculer $$\int_a^1 x \ln x \mathrm{~d} x$$ .
Pour tout réel $$x$$ de $$I=\left]a;1\right]$$, on pose :
$${\color{blue}{u\left(x\right)=\ln\left(x\right)}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$u'$$ $$\blue{\text{la dérivée}}$$ de $$u$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $$\quad$$ $${\color{red}{u'\left(x\right)=\frac{1}{x}}}$$
$${\color{purple}{v'\left(x\right)=x}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$v$$ $$\blue{\text{une primitive}}$$ de $$v'$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $${\color{green}{v\left(x\right)=\frac{1}{2}x^{2}}}$$
Les fonctions $$\color{blue}{u}$$ et $$\color{green}{v}$$ sont dérivables sur $$I$$ et les fonctions $$\color{red}{u'}$$ et $$\color{purple}{v'}$$ sont continues sur $$I$$.
$$\int _{a}^{1}{\color{purple}{x}}{\color{blue}{\ln \left(x\right)}}dx =\left[{\color{green}{\left(\frac{1}{2}x^{2}\right)}}{\color{blue}{\ln \left(x\right)}}\right]_{a}^{1} -\int _{a}^{1}\left({\color{green}{\left(\frac{1}{2}x^{2}\right)}}\times {\color{red}{\frac{1}{x}}} \right) dx$$
$$\int_a^1 x \ln x \mathrm{~d} x=\left[\frac{x^2}{2} \ln x\right]_a^1-\int_a^1 \frac{x}{2} d x$$
$$\int_a^1 x \ln x \mathrm{~d} x=\left[\frac{x^2}{2} \ln x\right]_a^1-\left[\frac{x^2}{4}\right]_1^a$$
$$\int_a^1 x \ln x \mathrm{~d} x=\frac{a^2}{2} \ln a-\frac{1^2}{2} \ln 1 -\left(\frac{a^2}{4}-\frac{1}{4}\right)$$
Ainsi : $$\pink{\int_a^1 x \ln x \mathrm{~d} x=\frac{a^2}{2} \ln a-\frac{a^2}{4}+\frac{1}{4}}$$
On rappelle que :
$$\int_a^1 f(x) \mathrm{d} x=-\frac{a^2}{2}(\ln a)^2-\pink{\int_a^1 x \ln x \mathrm{~d} x}$$
$$\int_a^1 f(x) \mathrm{d} x=-\frac{a^2}{2}(\ln a)^2-\pink{\left(\frac{a^2}{2} \ln a-\frac{a^2}{4}+\frac{1}{4}\right)}$$
Finalement :