Exercices types : $2$ ^ème partie - Exercice 2

5 min

Soit

f

la fonction définie et continue sur l'intervalle

\left[1;4\right]

telle que :

f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc} {x+4} & {\text{si}} & {x\in \left[1;2\right]} \\ {2x+2} & {\text{si}} & {x\in \left[2;4\right]} \end{array}\right.

Question 1

Calculer $\int _{1}^{4}f\left(x\right)dx$ .

Correction

\red{\text{La relation de Chasles}}

Soient

a

b

c

trois réels d'un intervalle

I

tels que

a \le b \le c

Soit

f

une fonction continue sur un intervalle

I

\int _{{\color{blue}{a}}}^{{\color{red}{c}}}f\left(x\right)dx =\int _{{\color{blue}{a}}}^{\pink{b}}f\left(x\right)dx +\int _{\pink{b}}^{{\color{red}{c}}}f\left(x\right)dx

Soit :

f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc} {x+4} & {\text{si}} & {x\in \left[1;2\right]} \\ {2x+2} & {\text{si}} & {x\in \left[2;4\right]} \end{array}\right.

Il vient alors que :

\int _{1}^{4}f\left(x\right)dx =\int _{1}^{2}f\left(x\right)dx +\int _{2}^{4}f\left(x\right)dx

\int _{1}^{4}f\left(x\right)dx =\int _{1}^{2}\left(x+4\right)dx +\int _{2}^{4}\left(2x+2\right)dx

\int _{1}^{4}f\left(x\right)dx =\left[\frac{1}{2} x^{2} +4x\right]_{1}^{2} +\left[x^{2} +2x\right]_{2}^{4}

\int _{1}^{4}f\left(x\right)dx =\frac{1}{2} \times 2^{2} +4\times 2-\left(\frac{1}{2} \times 1^{2} +4\times 1\right)+4^{2} +2\times 4-\left(2^{2} +2\times 2\right)

\int _{1}^{4}f\left(x\right)dx =\frac{1}{2} \times 4+8-\left(\frac{1}{2} +4\right)+16+8-\left(4+4\right)

\int _{1}^{4}f\left(x\right)dx =10-\frac{9}{2} +16+8-8

Finalement :

\int _{1}^{4}f\left(x\right)dx =\frac{43}{2}

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