Calcul intégral

Exercices types : 22ème partie - Exercice 1

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Question 1
Soit ff la fonction définie et continue sur l'intervalle [1;4]\left[1;4\right] telle que : f(x)={x+4six∈[1;2]2x+2six∈[2;4]f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc} {x+4} & {\text{si}} & {x\in \left[1;2\right]} \\ {2x+2} & {\text{si}} & {x\in \left[2;4\right]} \end{array}\right.

Calculer ∫14f(x)dx\int _{1}^{4}f\left(x\right)dx .

Correction
    La relation de Chasles\red{\text{La relation de Chasles}}
  • Soient aa, bb et cc trois réels d'un intervalle II tels que a≤b≤ca \le b \le c .
  • Soit ff une fonction continue sur un intervalle II .
  • ∫acf(x)dx=∫abf(x)dx+∫bcf(x)dx\int _{{\color{blue}{a}}}^{{\color{red}{c}}}f\left(x\right)dx =\int _{{\color{blue}{a}}}^{\pink{b}}f\left(x\right)dx +\int _{\pink{b}}^{{\color{red}{c}}}f\left(x\right)dx
    • Soit : f(x)={x+4six∈[1;2]2x+2six∈[2;4]f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc} {x+4} & {\text{si}} & {x\in \left[1;2\right]} \\ {2x+2} & {\text{si}} & {x\in \left[2;4\right]} \end{array}\right.
    Il vient alors que :
    ∫14f(x)dx=∫12f(x)dx+∫24f(x)dx\int _{1}^{4}f\left(x\right)dx =\int _{1}^{2}f\left(x\right)dx +\int _{2}^{4}f\left(x\right)dx
    ∫14f(x)dx=∫12(x+4)dx+∫24(2x+2)dx\int _{1}^{4}f\left(x\right)dx =\int _{1}^{2}\left(x+4\right)dx +\int _{2}^{4}\left(2x+2\right)dx
    ∫14f(x)dx=[12x2+4x]12+[x2+2x]24\int _{1}^{4}f\left(x\right)dx =\left[\frac{1}{2} x^{2} +4x\right]_{1}^{2} +\left[x^{2} +2x\right]_{2}^{4}
    ∫14f(x)dx=12×22+4×2−(12×12+4×1)+42+2×4−(22+2×2)\int _{1}^{4}f\left(x\right)dx =\frac{1}{2} \times 2^{2} +4\times 2-\left(\frac{1}{2} \times 1^{2} +4\times 1\right)+4^{2} +2\times 4-\left(2^{2} +2\times 2\right)
    ∫14f(x)dx=12×4+8−(12+4)+16+8−(4+4)\int _{1}^{4}f\left(x\right)dx =\frac{1}{2} \times 4+8-\left(\frac{1}{2} +4\right)+16+8-\left(4+4\right)
    ∫14f(x)dx=10−92+16+8−8\int _{1}^{4}f\left(x\right)dx =10-\frac{9}{2} +16+8-8
    Finalement :
    ∫14f(x)dx=432\int _{1}^{4}f\left(x\right)dx =\frac{43}{2}