Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 3

$$f$$ est dérivable sur $$\left[1;e\right]$$ .
On reconnaît la forme : $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(t\right)=t^{3}$$ et $$v\left(t\right)=3\ln \left(t\right)-1$$.
Ainsi : $$u'\left(t\right)=3t^{2}$$ et $$v'\left(t\right)=\frac{3}{t}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(t\right)=3t^{2} \times \left[3\ln \left(t\right)-1\right]+t^{3} \times \left(\frac{3}{t} \right)$$
$$f'\left(t\right)=3t^{2} \times \left(3\ln \left(t\right)\right)+3t^{2} \times \left(-1\right)+\frac{3t^{3} }{t}$$
$$f'\left(t\right)=9t^{2} \ln \left(t\right)-3t^{2} +3t^{2}$$

D'après la question précédente, nous avons montré que la dérivée de la fonction $$t\mapsto t^{3} \left[3\ln \left(t\right)-1\right]$$ était la fonction $$t\mapsto 9t^{2} \ln \left(t\right)$$ .
Cela signifie donc qu'une primitive de la fonction $$t\mapsto 9t^{2} \ln \left(t\right)$$ est $$t\mapsto t^{3} \left(3\ln \left(t\right)-1\right)$$ . Il vient alors que :
$$I=\int _{1}^{e}9t^{2} \ln \left(t\right) dt$$ équivaut successivement à :
$$I=\left[t^{3} \left(3\ln \left(t\right)-1\right)\right]_{1}^{e}$$
$$I=e^{3} \times \left(3\ln \left(e\right)-1\right)-\left[1^{3} \times \left(3\ln \left(1\right)-1\right)\right]$$
$$I=e^{3} \times \left(3-1\right)-\left[1^{3} \times \left(0-1\right)\right]$$
$$I=2e^{3} -\left(-1\right)$$