Comme
un=∫01tncos(t)dt alors
un+1=∫01tn+1cos(t)dt.
Ainsi :
un+1−un=∫01tn+1cos(t)dt−∫01tncos(t)dtun+1−un=∫01(tn+1cos(t)−tncos(t))dtun+1−un=∫01(t×tncos(t)−tncos(t))dt car :
tn+1=t×tnun+1−un=∫01(tncos(t)×(t−1))dt. Nous avons ici factorisé par
tncos(t) .
Il nous faut donc maintenant étudier le signe de :
tncos(t)×(t−1).
Soit
t∈[0;1], il en résulte donc que
cos(t)≥0 et
tn≥0.
De plus :
0≤t≤1 et donc
−1≤t−1≤0 . Ainsi
t−1≤0 .
On peut conclure que :
tncos(t)×(t−1)≤0 lorsque
t∈[0;1].
D'après la positivité de l'intégrale, on a alors :
∫01(tncos(t)×(t−1))dt≤0.
Finalement :
un+1−un≤0.
La suite
(un) est donc décroissante.