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Calcul intégral

Encadrement - Exercice 1

15 min
25
Démontrer les encadrements suivants
Question 1

10≤∫13(3t+2)dt≤2210\le \int _{1}^{3}\left(3t+2\right) dt\le 22

Correction
Soient ff, gg et hh trois fonctions continues sur un intervalle [a;b]\left[a;b\right]
  • Si f(x)≥g(x)f\left(x\right)\ge g\left(x\right) alors ∫abf(x)dx≥∫abg(x)dx\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\ge \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
  • Si f(x)≤g(x)f\left(x\right)\le g\left(x\right) alors ∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\le \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
  • Si h(x)≤f(x)≤g(x)h\left(x\right)\le f\left(x\right)\le g\left(x\right) alors ∫abh(x)dx≤∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx\int _{a}^{b}h\left(x\right) dx \le\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\le \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
  • Si h(x)≥f(x)≥g(x)h\left(x\right)\ge f\left(x\right)\ge g\left(x\right) alors ∫abh(x)dx≥∫abf(x)dx≥∫abg(x)dx\int _{a}^{b}h\left(x\right) dx \ge\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\ge \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
    • Soit t∈[1;3]t\in \left[1;3\right], il vient alors que :
    1≤t≤31\le t\le 3 équivaut successivement à
    3≤3t≤93\le 3t\le 9
    3+2≤3t+2≤9+23+2\le 3t+2\le 9+2
    5≤3t+2≤115\le 3t+2\le 11
    On peut alors écrire que :
    ∫135dt≤∫133t+2dt≤∫1311dt\int _{1}^{3}5dt \le \int _{1}^{3}3t+2dt \le \int _{1}^{3}11dt

    Calculons d’une part :\red{\text{Calculons d'une part :}} ∫135dt=[5t]13=5×3−5×1=10\int _{1}^{3}5 dt=\left[5t\right]_{1}^{3} =5\times3-5\times1=10
    Calculons d’autre part :\red{\text{Calculons d'autre part :}} ∫1311dt=[11t]13=11×3−11×1=22\int _{1}^{3}11 dt=\left[11t\right]_{1}^{3} =11\times3-11\times1=22
    Finalement :
    10≤∫13(3t+2)dt≤2210\le \int _{1}^{3}\left(3t+2\right) dt\le 22
    Question 2

    13≤∫01(12t+1)dt≤1\frac{1}{3} \le \int _{0}^{1}\left(\frac{1}{2t+1} \right) dt\le 1

    Correction
    Soient ff, gg et hh trois fonctions continues sur un intervalle [a;b]\left[a;b\right]
  • Si f(x)≥g(x)f\left(x\right)\ge g\left(x\right) alors ∫abf(x)dx≥∫abg(x)dx\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\ge \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
  • Si f(x)≤g(x)f\left(x\right)\le g\left(x\right) alors ∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\le \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
  • Si h(x)≤f(x)≤g(x)h\left(x\right)\le f\left(x\right)\le g\left(x\right) alors ∫abh(x)dx≤∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx\int _{a}^{b}h\left(x\right) dx \le\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\le \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
  • Si h(x)≥f(x)≥g(x)h\left(x\right)\ge f\left(x\right)\ge g\left(x\right) alors ∫abh(x)dx≥∫abf(x)dx≥∫abg(x)dx\int _{a}^{b}h\left(x\right) dx \ge\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\ge \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
    • Soit t∈[0;1]t\in \left[0;1\right], il vient alors que :
    0≤t≤10\le t\le 1 équivaut successivement à
    0≤2t≤20\le 2t\le 2
    1≤2t+1≤31\le 2t+1\le 3
    On compose maintenant par la fonction inverse. Or x↦1xx\mapsto \frac{1}{x} est une fonction décroissante sur ]0;+∞[\left]0;+\infty\right[, l'ordre n'est pas conservé. Il vient alors que :
    13≤12t+1≤1\frac{1}{3} \le \frac{1}{2t+1} \le 1
    Il en résulte que :
    ∫0113dt≤∫0112t+1dt≤∫011dt\int _{0}^{1}\frac{1}{3} dt\le \int _{0}^{1}\frac{1}{2t+1} dt\le \int _{0}^{1}1 dt

    Calculons d’une part :\red{\text{Calculons d'une part :}} ∫0113dt=[13t]01=13×1−13×0=13\int _{0}^{1}\frac{1}{3} dt=\left[\frac{1}{3} t\right]_{0}^{1} =\frac{1}{3}\times 1-\frac{1}{3}\times 0=\frac{1}{3}
    Calculons d’autre part :\red{\text{Calculons d'autre part :}} ∫011dt=[t]01=1−0=1\int _{0}^{1}1 dt=\left[t\right]_{0}^{1} =1-0=1
    Finalement :
    13≤∫01(12t+1)dt≤1\frac{1}{3} \le \int _{0}^{1}\left(\frac{1}{2t+1} \right) dt\le 1
    Question 3

    27≤∫122x2+3dx≤12\frac{2}{7} \le \int _{1}^{2}\frac{2}{x^{2} +3} dx \le \frac{1}{2}

    Correction
    Soient ff, gg et hh trois fonctions continues sur un intervalle [a;b]\left[a;b\right]
  • Si f(x)≥g(x)f\left(x\right)\ge g\left(x\right) alors ∫abf(x)dx≥∫abg(x)dx\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\ge \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
  • Si f(x)≤g(x)f\left(x\right)\le g\left(x\right) alors ∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\le \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
  • Si h(x)≤f(x)≤g(x)h\left(x\right)\le f\left(x\right)\le g\left(x\right) alors ∫abh(x)dx≤∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx\int _{a}^{b}h\left(x\right) dx \le\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\le \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
  • Si h(x)≥f(x)≥g(x)h\left(x\right)\ge f\left(x\right)\ge g\left(x\right) alors ∫abh(x)dx≥∫abf(x)dx≥∫abg(x)dx\int _{a}^{b}h\left(x\right) dx \ge\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\ge \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
    • Soit x∈[1;2]x\in \left[1;2\right], il vient alors que :
    1≤x≤21\le x\le 2
    1≤x2≤41\le x^{2} \le 4
    4≤x2+3≤74\le x^{2} +3\le 7
    14≥1x2+3≥17\frac{1}{4} \ge \frac{1}{x^{2} +3} \ge \frac{1}{7}
    17≤1x2+3≤14\frac{1}{7} \le \frac{1}{x^{2} +3} \le \frac{1}{4}
    27≤2x2+3≤24\frac{2}{7} \le \frac{2}{x^{2} +3} \le \frac{2}{4}
    27≤2x2+3≤12\frac{2}{7} \le \frac{2}{x^{2} +3} \le \frac{1}{2}
    ∫1227dx≤∫122x2+3dx≤∫1212dx\int _{1}^{2}\frac{2}{7} dx\le \int _{1}^{2}\frac{2}{x^{2} +3} dx \le \int _{1}^{2}\frac{1}{2} dx
    Calculons d’une part :\red{\text{Calculons d'une part :}} ∫1227dx=[27x]12=27×2−27×1=27\int _{1}^{2}\frac{2}{7} dx=\left[\frac{2}{7} x\right]_{1}^{2} =\frac{2}{7} \times 2-\frac{2}{7} \times 1= \frac{2}{7}
    Calculons d’autre part :\red{\text{Calculons d'autre part :}} ∫1212dx=[12x]12=12×2−12=12\int _{1}^{2}\frac{1}{2} dx=\left[\frac{1}{2} x\right]_{1}^{2} =\frac{1}{2} \times 2-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}
    Finalement :
    27≤∫122x2+3dx≤12\frac{2}{7} \le \int _{1}^{2}\frac{2}{x^{2} +3} dx \le \frac{1}{2}

    Question 4

    0≤∫01ln⁡(1+xn)dx≤ln⁡(2)0\le \int _{0}^{1}\ln \left(1+x^{n} \right)dx \le \ln \left(2\right)

    Correction
    Soient ff, gg et hh trois fonctions continues sur un intervalle [a;b]\left[a;b\right]
  • Si f(x)≥g(x)f\left(x\right)\ge g\left(x\right) alors ∫abf(x)dx≥∫abg(x)dx\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\ge \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
  • Si f(x)≤g(x)f\left(x\right)\le g\left(x\right) alors ∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\le \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
  • Si h(x)≤f(x)≤g(x)h\left(x\right)\le f\left(x\right)\le g\left(x\right) alors ∫abh(x)dx≤∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx\int _{a}^{b}h\left(x\right) dx \le\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\le \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
  • Si h(x)≥f(x)≥g(x)h\left(x\right)\ge f\left(x\right)\ge g\left(x\right) alors ∫abh(x)dx≥∫abf(x)dx≥∫abg(x)dx\int _{a}^{b}h\left(x\right) dx \ge\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\ge \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
    • Soit x∈[0;1]x\in \left[0;1\right], il vient alors que :
    0≤x≤10\le x\le 1
    0≤xn≤10\le x^{n} \le 1
    1≤1+xn≤21\le 1+x^{n} \le 2 . Or x↦ln⁡(x)x\mapsto \ln \left(x\right) est une fonction croissante sur ]0;+∞[\left]0;+\infty\right[, l'ordre est conservé. Il vient alors que :
    ln⁡(1)≤ln⁡(1+xn)≤ln⁡(2)\ln \left(1\right)\le \ln \left(1+x^{n} \right)\le \ln \left(2\right)
    0≤ln⁡(1+xn)≤ln⁡(2)0\le \ln \left(1+x^{n} \right)\le \ln \left(2\right)
    ∫010dx≤∫01ln⁡(1+xn)dx≤∫01ln⁡(2)dx\int _{0}^{1}0dx \le \int _{0}^{1}\ln \left(1+x^{n} \right)dx \le \int _{0}^{1}\ln \left(2\right)dx
    0≤∫01ln⁡(1+xn)dx≤[xln⁡(2)]010\le \int _{0}^{1}\ln \left(1+x^{n} \right)dx \le \left[x\ln \left(2\right)\right]_{0}^{1}
    Finalement :
    0≤∫01ln⁡(1+xn)dx≤ln⁡(2)0\le \int _{0}^{1}\ln \left(1+x^{n} \right)dx \le \ln \left(2\right)