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Calcul intégral
Comparer deux intégrales sans les calculer - Exercice 2
5 min
10
Sans faire de calculs, comparer les deux intégrales
I
I
I
et
J
J
J
suivantes
Question 1
I
=
∫
1
2
(
t
e
t
)
d
t
I=\int _{1}^{2}\left(te^{t} \right) dt
I
=
∫
1
2
(
t
e
t
)
d
t
et
J
=
∫
1
2
(
t
2
e
t
)
d
t
J=\int _{1}^{2}\left(t^{2} e^{t} \right) dt
J
=
∫
1
2
(
t
2
e
t
)
d
t
Correction
Intégration d'une inégalité.
Si
f
≥
g
f\ge g
f
≥
g
sur
[
a
;
b
]
\left[a;b\right]
[
a
;
b
]
alors
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≥
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\ge \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≥
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
Soit :
t
∈
[
1
;
2
]
t\in \left[1;2\right]
t
∈
[
1
;
2
]
, on a
t
2
≥
t
t^{2} \ge t
t
2
≥
t
Comme :
e
t
>
0
e^{t} >0
e
t
>
0
Alors :
t
2
e
t
≥
t
e
t
t^{2} e^{t} \ge te^{t}
t
2
e
t
≥
t
e
t
Il en résulte que :
∫
1
2
(
t
2
e
t
)
d
t
≥
∫
1
2
(
t
e
t
)
d
t
\int _{1}^{2}\left(t^{2} e^{t} \right) dt\ge \int _{1}^{2}\left(te^{t} \right) dt
∫
1
2
(
t
2
e
t
)
d
t
≥
∫
1
2
(
t
e
t
)
d
t
Finalement :
J
≥
I
J\ge I
J
≥
I