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Calculs d'intégrales - Exercice 4

10 min
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Question 1

Justifier que la fonction FF définie sur l’intervalle [−3;8]\left[-3 ; 8\right] par F(x)=(−x−4)e−xF\left(x\right)=\left(-x-4\right)e^{-x} est une primitive de f(x)=e−x(3+x)f\left(x\right)=e^{-x} \left(3+x\right) sur le même intervalle.

Correction
Dans le cas où une primitive FF est donnée, il vous suffit de dériver FF et d'obtenir comme résultat ff.
Autrement dit, il faut que F′(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right)
Soit : F(x)=(−x−4)e−xF\left(x\right)=\left(-x-4\right)e^{-x} . FF est dérivable sur [−3;8]\left[-3 ; 8\right].
On reconnaît la forme : (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=−x−4u\left(x\right)=-x-4 et v(x)=e−xv\left(x\right)=e^{-x} .
Ainsi : u′(x)=−1u'\left(x\right)=-1 et v′(x)=−e−xv'\left(x\right)=-e^{-x} .
Il vient alors que :
F′(x)=−1×e−x+(−x−4)×(−e−x)F'\left(x\right)=-1\times e^{-x} +\left(-x-4\right)\times \left(-e^{-x} \right)
F′(x)=−1×e−x+(−x)×(−e−x)+(−4)×(−e−x)F'\left(x\right)=-1\times e^{-x} +\left(-x\right)\times \left(-e^{-x} \right)+\left(-4\right)\times \left(-e^{-x} \right)
F′(x)=−e−x+xe−x+4e−xF'\left(x\right)=-e^{-x} +xe^{-x} +4e^{-x}
F′(x)=3e−x+xe−xF'\left(x\right)=3e^{-x} +xe^{-x}
F′(x)=e−x(3+x)F'\left(x\right)=e^{-x} \left(3+x\right)
F′(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right)

Donc FF définie sur l’intervalle [−3;8]\left[-3 ; 8\right] par F(x)=(−x−4)e−xF\left(x\right)=\left(-x-4\right)e^{-x} est bien une primitive de ff.
Question 2

Calculer la valeur exacte de l’aire, du domaine délimité par les droites d’équation x=0x=0, x=3x=3, l’axe des abscisses et la courbe CfC_{f} .

Correction
  • Comment calculer l'intégrale I=∫abf(x)dxI=\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx
  • 1ère étape : on calcule une primitive de ff notée FF. On écrira ensuite I=[F(x)]abI=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}
  • 2ème étape : I=F(b)−F(a)I=F\left(b\right)-F\left(a\right) et on effectue le calcul numérique.
L'énoncé de la question revient à effectuer le calcul de : ∫03f(x)dx\int _{0}^{3}f\left(x\right) dx
Soit f(x)=e−x(3+x)f\left(x\right)=e^{-x} \left(3+x\right) alors F(x)=(−x−4)e−xF\left(x\right)=\left(-x-4\right)e^{-x}
Il vient alors que :
∫03f(x)dx=[F(x)]03\int _{0}^{3}f\left(x\right) dx=\left[F\left(x\right)\right]_{0}^{3} équivaut successivement à :
∫03f(x)dx=((−3−4)e−3)−((−0−4)e−0)\int _{0}^{3}f\left(x\right) dx=\left(\left(-3-4\right)e^{-3} \right)-\left(\left(-0-4\right)e^{-0} \right)
∫03f(x)dx=(−7e−3)+4\int _{0}^{3}f\left(x\right) dx=\left(-7e^{-3} \right)+4
Finalement :
∫03f(x)dx=4−7e−3\int _{0}^{3}f\left(x\right) dx=4-7e^{-3}
Question 3

Calculer la valeur moyenne de ff sur [0;3]\left[0;3\right]. Donner la valeur exacte. Puis un arrondi à 10−210^{-2} près.

Correction
ff une fonction continue sur un intervalle [a;b]\left[a;b\right].
La valeur moyenne de la fonction ff sur [a;b]\left[a;b\right] est le réel mm défini par m=1b−a∫abf(x)dxm=\frac{1}{b-a} \int _{a}^{b}f\left(x\right) dx
Dans notre situation, nous avons donc :
m=13−0∫03f(x)dxm=\frac{1}{3-0} \int _{0}^{3}f\left(x\right) dx
Ainsi :
m=13×(4−7e−3)dxm=\frac{1}{3} \times\left(4-7e^{-3}\right) dx
qui correspond à la valeur exacte.
m≈1,22m\approx1,22
qui correspond à un arrondi à 10−210^{-2} près.

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