Calculs d'intégrales en utilisant les formes composées - Exercice 2

15 min
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On considère la fonction ff continue sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[ par f(x)=2ex+3ex+1f\left(x\right)=\frac{2e^{x} +3}{e^{x} +1}
Question 1

Déterminer les réels aa et bb tels que f(x)=a+bexex+1f\left(x\right)=a+\frac{be^{x} }{e^{x} +1}

Correction
Commençons par mettre l'expression au même dénominateur.
f(x)=a+bexex+1f\left(x\right)=a+\frac{be^{x} }{e^{x} +1} équivaut successivement à
f(x)=a(ex+1)ex+1+bexex+1f\left(x\right)=\frac{a\left(e^{x} +1\right)}{e^{x} +1} +\frac{be^{x} }{e^{x} +1}
f(x)=aex+aex+1+bexex+1f\left(x\right)=\frac{ae^{x} +a}{e^{x} +1} +\frac{be^{x} }{e^{x} +1}
f(x)=aex+a+bexex+1f\left(x\right)=\frac{ae^{x} +a+be^{x} }{e^{x} +1}
Ainsi : f(x)=ex(a+b)+aex+1f\left(x\right)=\frac{e^{x} \left(a+b\right)+a}{e^{x} +1} .
Il faut que :
ex(a+b)+aex+1=2ex+3ex+1\frac{e^{x} \left({\color{red}a+b}\right)+{\color{blue}a}}{e^{x} +1} =\frac{{\color{red}2}e^{x} +{\color{blue}3}}{e^{x} +1}

Par identification, on obtient le système suivant :
{a+b=2a=3⇔{b=−1a=3\left\{\begin{array}{ccc} {{\color{red}a+b}} & {=} & {{\color{red}2}} \\ {{\color{blue}a}} & {=} & {{\color{blue}3}} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {b} & {=} & {-1} \\ {a} & {=} & {3} \end{array}\right.
Finalement :
f(x)=3−exex+1f\left(x\right)=3-\frac{e^{x} }{e^{x} +1}
Question 2

Calculer ensuite I=∫01(f(x))dxI=\int _{0}^{1}\left(f\left(x\right)\right) dx

Correction
Soit : f(x)=3−exex+1f\left(x\right)=3-\frac{e^{x} }{e^{x} +1}
Posons : g(x)=−exex+1g\left(x\right)=-\frac{e^{x} }{e^{x} +1} et calculons une primitive de gg
On reconnait la forme u′u\frac{u'}{u}

Il en résulte qu'une primitive de ff est :
F(x)=3x−ln⁡(ex+1)F\left(x\right)=3x-\ln \left(e^{x} +1\right)

Enfin :
I=∫01(3−exex+1)dxI=\int _{0}^{1}\left(3-\frac{e^{x} }{e^{x} +1} \right) dx équivaut successivement à
I=[3x−ln⁡(ex+1)]01I=\left[3x-\ln \left(e^{x} +1\right)\right]_{0}^{1}
I=(3−ln⁡(e1+1))−(3×0−ln⁡(e0+1))I=\left(3-\ln \left(e^{1} +1\right)\right)-\left(3\times 0-\ln \left(e^{0} +1\right)\right)
I=3−ln⁡(e1+1)+ln⁡(2)I=3-\ln \left(e^{1} +1\right)+\ln \left(2\right)
I=3+ln⁡(2)−ln⁡(e1+1)I=3+\ln \left(2\right)-\ln \left(e^{1} +1\right)
I=3+ln⁡(2e1+1)I=3+\ln \left(\frac{2}{e^{1} +1} \right)
Finalement :
∫01(f(x))dx=3+ln⁡(2e1+1)\int _{0}^{1}\left(f\left(x\right)\right) dx=3+\ln \left(\frac{2}{e^{1} +1} \right)

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