Calculs d'intégrales en utilisant les formes composées - Exercice 1

Soit : $$f\left(x\right)=\frac{2}{x+1}$$.
On reconnaît la forme $$\frac{u'}{u}$$.
$$I=\int _{0}^{1}\left(\frac{2}{x+1} \right)dx$$ équivaut successivement à
$$I=\left[2\ln \left(x+1\right)\right]_{0}^{1}$$
$$I=\left(2\ln \left(1+1\right)\right)-\left(2\ln \left(0+1\right)\right)$$
$$I=2\ln \left(2\right)$$
Finalement :

Soit : $$f\left(x\right)=\frac{3x}{x^{2} +2}$$
On reconnaît la forme $$\frac{u'}{u}$$

$$I=\int _{-1}^{1}\left(\frac{3x}{x^{2} +2} \right)dx$$ équivaut successivement à.
$$I=\left[\frac{3}{2} \ln \left(x^{2} +2\right)\right]_{-1}^{1}$$
$$I=\left(\frac{3}{2} \ln \left(1+2\right)\right)-\left(\frac{3}{2} \ln \left(\left(-1\right)^{2} +2\right)\right)$$
$$I=\frac{3}{2} \ln \left(3\right)-\frac{3}{2} \ln \left(3\right)$$
$$I=0$$
Finalement :

Soit : $$f\left(t\right)=\frac{5}{\left(2t+3\right)^{2} }$$
On reconnait la forme $$\frac{u'}{u^{2} }$$

$$I=\int _{-1}^{1}\left(\frac{5}{\left(2t+3\right)^{2} } \right)dt$$ équivaut succesivement à
$$I=\left[\frac{-5}{2\left(2t+3\right)} \right]_{-1}^{1}$$
$$I=\left(\frac{-5}{2\left(2+3\right)} \right)-\left(\frac{-5}{2\left(2\times \left(-1\right)+3\right)} \right)$$
$$I=2$$
Finalement :

Soit : $$f\left(t\right)=2e^{3t+1}$$
On reconnaît la forme $$u'e^{u}$$

$$I=\int _{-1}^{2}\left(2e^{3t+1} \right)dt$$ équivaut successivement à
$$I=\left[\frac{2}{3} e^{3t+1} \right]_{-1}^{2}$$
$$I=\left(\frac{2}{3} e^{3\times 2+1} \right)-\left(\frac{2}{3} e^{3\times \left(-1\right)+1} \right)$$
$$I=\frac{2}{3} \left(e^{7} -e^{-2} \right)$$
Finalement :

Soit : $$f\left(x\right)=2\cos \left(2x-\pi \right)$$ c'est à dire
On a : $$F\left(x\right)=2\times \frac{1}{2}\sin \left(2x-\pi \right)$$ c'est à dire $$F\left(x\right)=\sin \left(2x-\pi \right)$$
$$I=\int _{0}^{\frac{\pi }{2} }\left(2\cos \left(2x-\pi \right)\right)dx$$ équivaut successivement à
$$I=\left[\sin \left(2x-\pi \right)\right]_{0}^{\frac{\pi }{2} }$$
$$I=\left(\sin \left(2\times \left(\frac{\pi }{2} \right)-\pi \right)\right)-\left(\sin \left(2\times 0-\pi \right)\right)$$
$$I=0$$
Finalement :

Soit : $$f\left(x\right)=3\sin \left(3t-\frac{\pi }{2} \right)$$
On a : $$F\left(x\right)=-\cos \left(3t-\frac{\pi }{2} \right)$$
$$I=\int _{0}^{\frac{\pi }{6} }\left(3\sin \left(3t-\frac{\pi }{2} \right)\right) dt$$ équivaut successivement à
$$I=\left[-\cos \left(3t-\frac{\pi }{2} \right)\right]_{0}^{\frac{\pi }{6} }$$
$$I=\left(-\cos \left(3\times \left(\frac{\pi }{6} \right)-\frac{\pi }{2} \right)\right)-\left(-\cos \left(3\times 0-\frac{\pi }{2} \right)\right)$$
Finalement :

Soit : $$f\left(x\right)=xe^{x^{2} }$$
On reconnait la forme $$u'e^{u}$$
$$I=\int _{0}^{1}\left(xe^{x^{2} } \right)dx$$ équivaut successivement à
$$I=\left[\frac{1}{2} e^{x^{2} } \right]_{0}^{1}$$
$$I=\left(\frac{1}{2} e^{1} \right)-\left(\frac{1}{2} e^{0} \right)$$
$$I=-\frac{1}{2} +\frac{1}{2} e$$
Finalement :

Soit : $$f\left(t\right)=\frac{2}{\sqrt{t+1} }$$
On reconnait la forme $$\frac{u'}{\sqrt{u} }$$

$$I=\int _{0}^{1}\left(\frac{2}{\sqrt{t+1} } \right) dt$$ équivaut successivement à
$$I=\left[4\sqrt{t+1} \right]_{0}^{1}$$
$$I=\left(4\sqrt{1+1} \right)-\left(4\sqrt{0+1} \right)$$
$$I=4\sqrt{2} -4$$
Finalement :