Calcul intégral

Calculs d'intégrales - Exercice 1

30 min
40
Calculer les intégrales suivantes.

Question 1

I=01(2x+1)dxI=\int _{0}^{1}\left(2x+1\right)dx

Correction
  • Comment calculer l'intégrale I=abf(x)dxI=\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx
  • 1ère étape : on calcule une primitive de ff notée FF. On écrira ensuite I=[F(x)]abI=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}
  • 2ème étape : I=F(b)F(a)I=F\left(b\right)-F\left(a\right) et on effectue le calcul numérique.
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2x+1f\left(x\right)=2x+1.
La fonction ff admet donc des primitives sur R\mathbb{R}. Une primitive de ff sur R\mathbb{R} est la fonction FF définie sur R\mathbb{R} par F(x)=x2+xF\left(x\right)=x^{2} +x .
Donc : I=[x2+x]01I=\left[x^{2} +x\right]_{0}^{1}
Il vient alors que :
I=[x2+x]01I=\left[x^{2} +x\right]_{0}^{1} équivaut successivement à
I=(12+1)(02+0)I=\left(1^{2} +1\right)-\left(0^{2} +0\right)
I=2I=2
Finalement :
01(2x+1)dx=2\int _{0}^{1}\left(2x+1\right)dx=2
Question 2

I=11(x2x)dxI=\int _{-1}^{1}\left(x^{2} -x\right)dx

Correction
  • Comment calculer l'intégrale I=abf(x)dxI=\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx
  • 1ère étape : on calcule une primitive de ff notée FF. On écrira ensuite I=[F(x)]abI=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}
  • 2ème étape : I=F(b)F(a)I=F\left(b\right)-F\left(a\right) et on effectue le calcul numérique.
La fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x2xf\left(x\right)=x^{2} -x . Une primitive de ff sur R\mathbb{R} est la fonction FF définie sur R\mathbb{R} par F(x)=13x312x2F\left(x\right)=\frac{1}{3} x^{3} -\frac{1}{2} x^{2} .
Donc : I=[13x312x2]11I=\left[\frac{1}{3} x^{3} -\frac{1}{2} x^{2} \right]_{-1}^{1}
Il vient alors que :
I=[13x312x2]11I=\left[\frac{1}{3} x^{3} -\frac{1}{2} x^{2} \right]_{-1}^{1}
I=(13×(1)312×(1)2)(13×(1)312×(1)2)I=\left(\frac{1}{3} \times \left(1\right)^{3} -\frac{1}{2} \times \left(1\right)^{2} \right)-\left(\frac{1}{3} \times \left(-1\right)^{3} -\frac{1}{2} \times \left(-1\right)^{2} \right)
I=23I=\frac{2}{3}
Finalement :
11(x2x)dx=23\int _{-1}^{1}\left(x^{2} -x\right) dx=\frac{2}{3}
Question 3

I=21(x2+3x+1)dxI=\int _{-2}^{1}\left(x^{2} +3x+1\right)dx

Correction
  • Comment calculer l'intégrale I=abf(x)dxI=\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx
  • 1ère étape : on calcule une primitive de ff notée FF. On écrira ensuite I=[F(x)]abI=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}
  • 2ème étape : I=F(b)F(a)I=F\left(b\right)-F\left(a\right) et on effectue le calcul numérique.
Soit : f(x)=x2+3x+1f\left(x\right)=x^{2} +3x+1
Alors : F(x)=13x3+32x2+xF\left(x\right)=\frac{1}{3} x^{3} +\frac{3}{2} x^{2} +x
Donc : I=[13x3+32x2+x]21I=\left[\frac{1}{3} x^{3} +\frac{3}{2} x^{2} +x\right]_{-2}^{1}
Il vient alors que :
I=[13x3+32x2+x]21I=\left[\frac{1}{3} x^{3} +\frac{3}{2} x^{2} +x\right]_{-2}^{1} équivaut successivement à
I=(13×(1)3+32×(1)2+1)(13×(2)3+32×(2)22)I=\left(\frac{1}{3} \times \left(1\right)^{3} +\frac{3}{2} \times \left(1\right)^{2} +1\right)-\left(\frac{1}{3} \times \left(-2\right)^{3} +\frac{3}{2} \times \left(-2\right)^{2} -2\right)
I=32I=\frac{3}{2}
Finalement :
21(x2+3x+1)dx=32\int _{-2}^{1}\left(x^{2} +3x+1\right)dx=\frac{3}{2}
Question 4

I=01(t3+2t2+t13)dtI=\int _{0}^{1}\left(\frac{t^{3} +2t^{2} +t-1}{3} \right)dt

Correction
  • Comment calculer l'intégrale I=abf(x)dxI=\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx
  • 1ère étape : on calcule une primitive de ff notée FF. On écrira ensuite I=[F(x)]abI=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}
  • 2ème étape : I=F(b)F(a)I=F\left(b\right)-F\left(a\right) et on effectue le calcul numérique.
I=01(t3+2t2+t13)dtI=\int _{0}^{1}\left(\frac{t^{3} +2t^{2} +t-1}{3} \right)dt équivaut à :
I=01(13t3+23t2+13t13)dtI=\int _{0}^{1}\left(\frac{1}{3} t^{3} +\frac{2}{3} t^{2} +\frac{1}{3} t-\frac{1}{3} \right) dt
Soit : f(t)=13t3+23t2+13t13f\left(t\right)=\frac{1}{3} t^{3} +\frac{2}{3} t^{2} +\frac{1}{3} t-\frac{1}{3}
Alors : F(t)=112t4+29t3+16t213tF\left(t\right)=\frac{1}{12} t^{4} +\frac{2}{9} t^{3} +\frac{1}{6} t^{2} -\frac{1}{3} t
Donc : I=[112t4+29t3+16t213t]01I=\left[\frac{1}{12} t^{4} +\frac{2}{9} t^{3} +\frac{1}{6} t^{2} -\frac{1}{3} t\right]_{0}^{1}
Il vient alors que :
I=[112t4+29t3+16t213t]01I=\left[\frac{1}{12} t^{4} +\frac{2}{9} t^{3} +\frac{1}{6} t^{2} -\frac{1}{3} t\right]_{0}^{1} équivaut successivement à :
I=112×14+29×13+16×1213×1(112×04+29×03+16×0213×0)I=\frac{1}{12} \times 1^{4} +\frac{2}{9} \times 1^{3} +\frac{1}{6} \times 1^{2} -\frac{1}{3} \times 1-\left(\frac{1}{12} \times 0^{4} +\frac{2}{9} \times 0^{3} +\frac{1}{6} \times 0^{2} -\frac{1}{3} \times 0\right)
I=112+29+16130I=\frac{1}{12} +\frac{2}{9} +\frac{1}{6} -\frac{1}{3} -0
I=536I=\frac{5}{36}
Finalement :
01(t3+2t2+t13)dt=536\int _{0}^{1}\left(\frac{t^{3} +2t^{2} +t-1}{3} \right)dt=\frac{5}{36}
Question 5

I=11(3t+4)dtI=\int _{-1}^{1}\left(3t+4\right)dt

Correction
  • Comment calculer l'intégrale I=abf(x)dxI=\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx
  • 1ère étape : on calcule une primitive de ff notée FF. On écrira ensuite I=[F(x)]abI=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}
  • 2ème étape : I=F(b)F(a)I=F\left(b\right)-F\left(a\right) et on effectue le calcul numérique.
Soit : f(t)=3t+4f\left(t\right)=3t+4
Alors : F(t)=32t2+4tF\left(t\right)=\frac{3}{2} t^{2} +4t
Donc : I=[32t2+4t]11I=\left[\frac{3}{2} t^{2} +4t\right]_{-1}^{1}
Il vient alors que :
I=[32t2+4t]11I=\left[\frac{3}{2} t^{2} +4t\right]_{-1}^{1} équivaut successivement à
I=(32+4)(32×(1)2+4×(1))I=\left(\frac{3}{2} +4\right)-\left(\frac{3}{2} \times \left(-1\right)^{2} +4\times \left(-1\right)\right)
I=8I=8
Finalement :
11(3t+4)dt=8\int _{-1}^{1}\left(3t+4\right)dt=8
Question 6

I=0π2(2cos(x)5sin(x))dxI=\int _{0}^{\frac{\pi }{2} }\left(2\cos \left(x\right)-5\sin \left(x\right)\right)dx

Correction
  • Comment calculer l'intégrale I=abf(x)dxI=\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx
  • 1ère étape : on calcule une primitive de ff notée FF. On écrira ensuite I=[F(x)]abI=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}
  • 2ème étape : I=F(b)F(a)I=F\left(b\right)-F\left(a\right) et on effectue le calcul numérique.
Soit : f(x)=2cos(x)5sin(x)f\left(x\right)=2\cos \left(x\right)-5\sin \left(x\right)
Alors : F(x)=2sin(x)+5cos(x)F\left(x\right)=2\sin \left(x\right)+5\cos \left(x\right)
Donc : I=[2sin(x)+5cos(x)]0π2I=\left[2\sin \left(x\right)+5\cos \left(x\right)\right]_{0}^{\frac{\pi }{2} }
Il vient alors que :
I=[2sin(x)+5cos(x)]0π2I=\left[2\sin \left(x\right)+5\cos \left(x\right)\right]_{0}^{\frac{\pi }{2} } équivaut successivement à
I=(2sin(π2)+5cos(π2))(2sin(0)+5cos(0))I=\left(2\sin \left(\frac{\pi }{2} \right)+5\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)\right)-\left(2\sin \left(0\right)+5\cos \left(0\right)\right)
I=3I=-3
Finalement :
0π2(2cos(x)5sin(x))dx=3\int _{0}^{\frac{\pi }{2} }\left(2\cos \left(x\right)-5\sin \left(x\right)\right)dx=-3
Question 7

I=02(2x+2)(x1)dxI=\int _{0}^{2}\left(2x+2\right)\left(x-1\right)dx

Correction
  • Comment calculer l'intégrale I=abf(x)dxI=\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx
  • 1ère étape : on calcule une primitive de ff notée FF. On écrira ensuite I=[F(x)]abI=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}
  • 2ème étape : I=F(b)F(a)I=F\left(b\right)-F\left(a\right) et on effectue le calcul numérique.
Soit : f(x)=(2x+2)(x1)f\left(x\right)=\left(2x+2\right)\left(x-1\right), on développe ff, on obtient f(x)=2x22f\left(x\right)=2x^{2} -2
Alors : F(x)=23x32xF\left(x\right)=\frac{2}{3} x^{3} -2x
Donc : I=[23x32x]02I=\left[\frac{2}{3} x^{3} -2x\right]_{0}^{2}
Il vient alors que :
I=[23x32x]02I=\left[\frac{2}{3} x^{3} -2x\right]_{0}^{2} équivaut successivement à
I=(23×(2)32×2)(0)I=\left(\frac{2}{3} \times \left(2\right)^{3} -2\times 2\right)-\left(0\right)
I=43I=\frac{4}{3}
Finalement
02(2x+2)(x1)dx=43\int _{0}^{2}\left(2x+2\right)\left(x-1\right)dx=\frac{4}{3}
Question 8

I=01dxI=\int _{0}^{1} dx

Correction
  • Comment calculer l'intégrale I=abf(x)dxI=\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx
  • 1ère étape : on calcule une primitive de ff notée FF. On écrira ensuite I=[F(x)]abI=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}
  • 2ème étape : I=F(b)F(a)I=F\left(b\right)-F\left(a\right) et on effectue le calcul numérique.
I=01dxI=\int _{0}^{1} dx s'écrit également I=011  dxI=\int _{0}^{1}1 \; dx
Soit : f(x)=1f\left(x\right)=1
Alors : F(x)=xF\left(x\right)=x
Donc : I=[x]01I=\left[x\right]_{0}^{1}
Il vient alors que :
I=[x]01I=\left[x\right]_{0}^{1} équivaut successivement à
I=(1)(0)I=\left(1\right)-\left(0\right)
I=1I=1
Finalement :
01dx=1\int _{0}^{1} dx=1
Question 9

I=12(1x+2x2)dxI=\int _{1}^{2}\left(-\frac{1}{x} +\frac{2}{x^{2} } \right) dx

Correction
  • Comment calculer l'intégrale I=abf(x)dxI=\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx
  • 1ère étape : on calcule une primitive de ff notée FF. On écrira ensuite I=[F(x)]abI=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}
  • 2ème étape : I=F(b)F(a)I=F\left(b\right)-F\left(a\right) et on effectue le calcul numérique.
Soit : f(x)=(1x+2x2)f\left(x\right)=\left(-\frac{1}{x} +\frac{2}{x^{2} }\right)
Alors : F(x)=ln(x)2xF\left(x\right)=-\ln \left(x\right)-\frac{2}{x}
Donc : I=[ln(x)2x]12I=\left[-\ln \left(x\right)-\frac{2}{x} \right]_{1}^{2}
Il vient alors que :
I=[ln(x)2x]12I=\left[-\ln \left(x\right)-\frac{2}{x} \right]_{1}^{2} équivaut succesivement à
I=(ln(2)22)(ln(1)21)I=\left(-\ln \left(2\right)-\frac{2}{2} \right)-\left(-\ln \left(1\right)-\frac{2}{1} \right)
I=ln(2)1+2I=-\ln \left(2\right)-1+2
I=ln(2)+1I=-\ln \left(2\right)+1
Finalement :
12(1x+2x2)dx=ln(2)+1\int _{1}^{2}\left(-\frac{1}{x} +\frac{2}{x^{2} } \right) dx=-\ln \left(2\right)+1
Question 10

I=12(2t2t+5t)dtI=\int _{1}^{2}\left(\frac{2t^{2} -t+5}{t} \right) dt

Correction
  • Comment calculer l'intégrale I=abf(x)dxI=\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx
  • 1ère étape : on calcule une primitive de ff notée FF. On écrira ensuite I=[F(x)]abI=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}
  • 2ème étape : I=F(b)F(a)I=F\left(b\right)-F\left(a\right) et on effectue le calcul numérique.
Soit : f(t)=2t2t+5tf\left(t\right)=\frac{2t^{2} -t+5}{t} , on simplifie l'écriture de ff qui devient f(t)=2t1+5tf\left(t\right)=2t-1+\frac{5}{t}
Alors : F(t)=t2t+5ln(t)F\left(t\right)=t^{2} -t+5\ln \left(t\right)
Donc : I=[t2t+5ln(t)]12I=\left[t^{2} -t+5\ln \left(t\right)\right]_{1}^{2}
Il vient alors que :
I=[t2t+5ln(t)]12I=\left[t^{2} -t+5\ln \left(t\right)\right]_{1}^{2} équivaut successivement à
I=(222+5ln(2))(11+5ln(1))I=\left(2^{2} -2+5\ln \left(2\right)\right)-\left(1-1+5\ln \left(1\right)\right)
I=5ln(2)+2I=5\ln \left(2\right)+2
Finalement :
12(2t2t+5t)dt=5ln(2)+2\int _{1}^{2}\left(\frac{2t^{2} -t+5}{t} \right)dt=5\ln \left(2\right)+2
Question 11

I=01(2et+t)dtI=\int _{0}^{1}\left(2e^{t} +t\right) dt

Correction
  • Comment calculer l'intégrale I=abf(x)dxI=\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx
  • 1ère étape : on calcule une primitive de ff notée FF. On écrira ensuite I=[F(x)]abI=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}
  • 2ème étape : I=F(b)F(a)I=F\left(b\right)-F\left(a\right) et on effectue le calcul numérique.
Soit : f(t)=2et+tf\left(t\right)=2e^{t} +t
Alors : F(t)=2et+12t2F\left(t\right)=2e^{t} +\frac{1}{2} t^{2}
Donc : I=[2et+12t2]01I=\left[2e^{t} +\frac{1}{2} t^{2} \right]_{0}^{1}
Il vient alors que :
I=[2et+12t2]01I=\left[2e^{t} +\frac{1}{2} t^{2} \right]_{0}^{1} équivaut successivement à
I=(2e1+12)(2e0+12×0)I=\left(2e^{1} +\frac{1}{2} \right)-\left(2e^{0} +\frac{1}{2} \times 0\right)
I=2e132I=2e^{1} -\frac{3}{2}
Finalement :
01(2et+t)dt=2e132\int _{0}^{1}\left(2e^{t} +t\right) dt=2e^{1} -\frac{3}{2}
Question 12
On admet que la fonction FF définie par F(x)=x22lnx+54x2+x7F\left(x\right)=-\frac{x^{2}}{2}\ln x+\frac{5}{4}x^{2}+x-7
est une primitive de la fonction ff sur l’intervalle ]0;10]\left]0;10\right].

Calculer la valeur exacte de I=12f(x)dxI=\int _{1}^{2}f\left(x\right) dx

Correction
  • Comment calculer l'intégrale I=abf(x)dxI=\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx
  • 1ère étape : on calcule une primitive de ff notée FF. On écrira ensuite I=[F(x)]abI=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}
  • 2ème étape : I=F(b)F(a)I=F\left(b\right)-F\left(a\right) et on effectue le calcul numérique.
I=12f(x)dxI=\int _{1}^{2}f\left(x\right) dx équivaut successivement à :
I=[x22lnx+54x2+x7]12I=\left[-\frac{x^{2}}{2}\ln x+\frac{5}{4}x^{2}+x-7 \right]_{1}^{2}
I=(222ln(2)+54×22+27)(122ln(1)+54×12+17)I=\left(-\frac{2^{2} }{2} \ln \left(2\right)+\frac{5}{4} \times 2^{2} +2-7\right)-\left(-\frac{1^{2} }{2} \ln \left(1\right)+\frac{5}{4} \times 1^{2} +1-7\right)
I=(2ln(2)+5+27)(54+17)I=\left(-2\ln \left(2\right)+5+2-7\right)-\left(\frac{5}{4} +1-7\right)
I=(2ln(2))(194)I=\left(-2\ln \left(2\right)\right)-\left(-\frac{19}{4} \right)
Finalement :
12(f(x))dx=2ln(2)+194\int _{1}^{2}\left(f\left(x\right)\right) dx=-2\ln \left(2\right)+\frac{19}{4}