Formule d’inteˊgration par parties
u et
v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle
I dont leurs dérivées
u′ et
v′ sont continues sur
I.
Pour tous réels
a et
b de
I, nous avons alors :
∫abu(x)v′(x)dx=[u(x)v(x)]ab−∫abu′(x)v(x)dx Pour tout réel
x de
I=[2π;π], on pose :
u(x)=3x2+1 on détermine
u′ la deˊriveˊe de
u u′(x)=6x v′(x)=cos(x) on détermine
v une primitive de
v′ v(x)=sin(x) Les fonctions
u et
v sont dérivables sur
I et les fonctions
u′ et
v′ sont continues sur
I.
D'après la formule d'intégrations par parties :
A=∫2ππ(3x2+1)cos(x) dx A=[(3x2+1)×sin(x) ]2ππ−∫2ππ6x×sin(x) dx A=[(3x2+1)sin(x) ]2ππ−∫2ππ6xsin(x)dx Il nous faut donc calculer
∫2ππ6xsin(x)dx . On reconnait à nouveau une intégration par parties.
On note alors :
B=∫2ππ6xsin(x)dx Pour tout réel
x de
I=[2π;π], on pose :
u(x)=6x on détermine
u′ la deˊriveˊe de
u u′(x)=6 v′(x)=sin(x) on détermine
v une primitive de
v′ v(x)=−cos(x) Les fonctions
u et
v sont dérivables sur
I et les fonctions
u′ et
v′ sont continues sur
I.
D'après la formule d'intégrations par parties :
B=∫2ππ6xsin(x) dx B=[6x×(−cos(x) )]2ππ−∫2ππ6×(−cos(x) )dx B=[−6xcos(x) ]2ππ+∫2ππ6cos(x)dx B=[−6xcos(x) ]2ππ+[6sin(x) ]2ππIl en résulte donc que :
∫2ππ(3x2+1)cos(x) dx=[(3x2+1)sin(x) ]2ππ−B ∫2ππ(3x2+1)cos(x) dx=[(3x2+1)sin(x) ]2ππ−([−6xcos(x) ]2ππ+[6sin(x) ]2ππ) ∫2ππ(3x2+1)cos(x) dx=[(3x2+1)sin(x) ]2ππ−[−6xcos(x) ]2ππ−[6sin(x) ]2ππ∫2ππ(3x2+1)cos(x) dx=(3π2+1)sin(π) −(3×(2π)2+1)sin(2π) −(−6πcos(π) −(−6×2π×cos(2π) ))−(6sin(π) −6sin(2π) ) ∫2ππ(3x2+1)cos(x) dx=−3×(2π)2−1−6π+6Ainsi :
∫2ππ(3x2+1)cos(x) dx=−3(2π)2−6π+5