Calcul intégral

Calculer une intégrale à l'aide d'une intégrations par parties - Exercice 3

15 min
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Question 1

A=π2π(3x2+1)cos(x) dxA=\int^{\pi }_{\frac{\pi }{2}}{\left(3x^2+1\right){\mathrm{cos} \left(x\right)\ }dx}

Correction
    Formule d’inteˊgration par parties\red{\text{Formule d'intégration par parties}}
u\color{blue}{u} et v\color{green}{v} sont deux fonctions dérivables sur un intervalle II dont leurs dérivées u\color{red}{u'} et v\color{purple}{v'} sont continues sur II.
Pour tous réels aa et bb de II, nous avons alors :
abu(x)v(x)dx=[u(x)v(x)]ababu(x)v(x)dx\int _{a}^{b}{\color{blue}{u\left(x\right)}}{\color{purple}{v'\left(x\right)}}dx =\left[{\color{blue}{u\left(x\right)}}{\color{green}{v\left(x\right)}}\right]_{a}^{b} -\int _{a}^{b}{\color{red}{u'\left(x\right)}}{\color{green}{v\left(x\right)}}dx
Pour tout réel xx de I=[π2;π]I=\left[\frac{\pi}{2};\pi\right], on pose :
u(x)=3x2+1{\color{blue}{u\left(x\right)=3x^2+1}} \qquad on détermine uu' la deˊriveˊe\blue{\text{la dérivée}} de uu \qquad \qquad \quad u(x)=6x{\color{red}{u'\left(x\right)=6x}}
v(x)=cos(x) {\color{purple}{v'\left(x\right)={\mathrm{cos} \left(x\right)\ }}} \qquad on détermine vv une primitive\blue{\text{une primitive}} de vv' \qquad \qquad v(x)=sin(x) {\color{green}{v\left(x\right)={\mathrm{sin} \left(x\right)\ }}}
Les fonctions u\color{blue}{u} et v\color{green}{v} sont dérivables sur II et les fonctions u\color{red}{u'} et v\color{purple}{v'} sont continues sur II.
D'après la formule d'intégrations par parties :
A=π2π(3x2+1)cos(x) dxA=\int _{\frac{\pi}{2}}^{\pi}{\color{blue}{\left(3x^2+1\right)}}{\color{purple}{{\mathrm{cos} \left(x\right)\ }}} dx
A=[(3x2+1)×sin(x) ]π2ππ2π6x×sin(x) dxA=\left[{\color{blue}{\left(3x^2+1\right)}}\times {\color{green}{{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }}} \right]_{\frac{\pi }{2}}^{\pi} -\int _{\frac{\pi }{2}}^{\pi}{\color{red}{6x}}\times{\color{green}{{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }}}dx
A=[(3x2+1)sin(x) ]π2ππ2π6xsin(x)dx A={\left[\left(3x^2+1\right){\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right]}^{\pi }_{\frac{\pi }{2}} -\int^{\pi }_{\frac{\pi }{2}}{6x{\mathrm{sin} \left(x\right)dx\ }}
Il nous faut donc calculer π2π6xsin(x)dx \int^{\pi }_{\frac{\pi }{2}}{6x{\mathrm{sin} \left(x\right)dx\ }} . On reconnait à nouveau une intégration par parties.
On note alors : B=π2π6xsin(x)dx B=\int^{\pi }_{\frac{\pi }{2}}{6x{\mathrm{sin} \left(x\right)dx\ }}
Pour tout réel xx de I=[π2;π]I=\left[\frac{\pi}{2};\pi\right], on pose :
u(x)=6x{\color{blue}{u\left(x\right)=6x}} \qquad on détermine uu' la deˊriveˊe\blue{\text{la dérivée}} de uu \qquad \qquad \quad u(x)=6{\color{red}{u'\left(x\right)=6}}
v(x)=sin(x) {\color{purple}{v'\left(x\right)={\mathrm{sin} \left(x\right)\ }}} \qquad on détermine vv une primitive\blue{\text{une primitive}} de vv' \qquad \qquad v(x)=cos(x) {\color{green}{v\left(x\right)={-\mathrm{cos} \left(x\right)\ }}}
Les fonctions u\color{blue}{u} et v\color{green}{v} sont dérivables sur II et les fonctions u\color{red}{u'} et v\color{purple}{v'} sont continues sur II.
D'après la formule d'intégrations par parties :
B=π2π6xsin(x) dxB=\int _{\frac{\pi}{2}}^{\pi}{\color{blue}{6x}}{\color{purple}{{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }}} dx
B=[6x×(cos(x) )]π2ππ2π6×(cos(x) )dxB=\left[{\color{blue}{6x}}\times \left({\color{green}{{-\mathrm{cos} \left(x\right)\ }}}\right) \right]_{\frac{\pi }{2}}^{\pi} -\int _{\frac{\pi }{2}}^{\pi}{\color{red}{6}}\times\left({\color{green}{{-\mathrm{cos} \left(x\right)\ }}}\right)dx
B=[6xcos(x) ]π2π+π2π6cos(x)dx B={\left[-6x{\mathrm{cos} \left(x\right)\ }\right]}^{\pi }_{\frac{\pi }{2}}+\int^{\pi }_{\frac{\pi }{2}}{6{\mathrm{cos} \left(x\right)dx\ }}
B=[6xcos(x) ]π2π+[6sin(x) ]π2πB={\left[-6x{\mathrm{cos} \left(x\right)\ }\right]}^{\pi }_{\frac{\pi }{2}}+{\left[6{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right]}^{\pi }_{\frac{\pi }{2}}
Il en résulte donc que :
π2π(3x2+1)cos(x) dx=[(3x2+1)sin(x) ]π2πB\int^{\pi }_{\frac{\pi }{2}}{\left(3x^2+1\right){\mathrm{cos} \left(x\right)\ }dx}={\left[\left(3x^2+1\right){\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right]}^{\pi }_{\frac{\pi }{2}}-B
π2π(3x2+1)cos(x) dx=[(3x2+1)sin(x) ]π2π([6xcos(x) ]π2π+[6sin(x) ]π2π)\int^{\pi }_{\frac{\pi }{2}}{\left(3x^2+1\right){\mathrm{cos} \left(x\right)\ }dx}={\left[\left(3x^2+1\right){\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right]}^{\pi }_{\frac{\pi }{2}}-\left({\left[-6x{\mathrm{cos} \left(x\right)\ }\right]}^{\pi }_{\frac{\pi }{2}}+{\left[6{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right]}^{\pi }_{\frac{\pi }{2}}\right)
π2π(3x2+1)cos(x) dx=[(3x2+1)sin(x) ]π2π[6xcos(x) ]π2π[6sin(x) ]π2π\int^{\pi }_{\frac{\pi }{2}}{\left(3x^2+1\right){\mathrm{cos} \left(x\right)\ }dx}={\left[\left(3x^2+1\right){\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right]}^{\pi }_{\frac{\pi }{2}}-{\left[-6x{\mathrm{cos} \left(x\right)\ }\right]}^{\pi }_{\frac{\pi }{2}}-{\left[6{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right]}^{\pi }_{\frac{\pi }{2}}
π2π(3x2+1)cos(x) dx=(3π2+1)sin(π) (3×(π2)2+1)sin(π2) (6πcos(π) (6×π2×cos(π2) ))(6sin(π) 6sin(π2) )\int^{\pi }_{\frac{\pi }{2}}{\left(3x^2+1\right){\mathrm{cos} \left(x\right)\ }dx}=\left(3{\pi }^2+1\right){\mathrm{sin} \left(\pi \right)\ }-\left(3\times {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^2+1\right){\mathrm{sin} \left(\frac{\pi }{2}\right)\ }-\left(-6\pi {\mathrm{cos} \left(\pi \right)\ }-\left(-6\times \frac{\pi }{2}\times{\mathrm{cos} \left(\frac{\pi }{2}\right)\ }\right)\right)-\left(6{\mathrm{sin} \left(\pi \right)\ }-6{\mathrm{sin} \left(\frac{\pi }{2}\right)\ }\right)
π2π(3x2+1)cos(x) dx=3×(π2)216π+6\int^{\pi }_{\frac{\pi }{2}}{\left(3x^2+1\right){\mathrm{cos} \left(x\right)\ }dx}=-3\times {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^2-1-6\pi +6
Ainsi :
π2π(3x2+1)cos(x) dx=3(π2)26π+5\int^{\pi }_{\frac{\pi }{2}}{\left(3x^2+1\right){\mathrm{cos} \left(x\right)\ }dx}=-3{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^2-6\pi +5
Question 2

Calculer l'intégrale suivante avec la méthode d'intégration par parties : B=112x(2+x)4dxB=\int^1_{-1}{\frac{2x}{{\left(2+x\right)}^4}dx}

Correction
On peut alors écrire que : B=112x(2+x)4dx=112x×1(2+x)4dxB=\int^1_{-1}{\frac{2x}{{\left(2+x\right)}^4}dx}=\int^1_{-1}{2x\times \frac{1}{{\left(2+x\right)}^4}dx}
    Formule d’inteˊgration par parties\red{\text{Formule d'intégration par parties}}
u\color{blue}{u} et v\color{green}{v} sont deux fonctions dérivables sur un intervalle II dont leurs dérivées u\color{red}{u'} et v\color{purple}{v'} sont continues sur II.
Pour tous réels aa et bb de II, nous avons alors :
abu(x)v(x)dx=[u(x)v(x)]ababu(x)v(x)dx\int _{a}^{b}{\color{blue}{u\left(x\right)}}{\color{purple}{v'\left(x\right)}}dx =\left[{\color{blue}{u\left(x\right)}}{\color{green}{v\left(x\right)}}\right]_{a}^{b} -\int _{a}^{b}{\color{red}{u'\left(x\right)}}{\color{green}{v\left(x\right)}}dx
Pour tout réel xx de I=[1;1]I=\left[-1;1\right], on pose :
u(x)=2x{\color{blue}{u\left(x\right)=2x}} \qquad on détermine uu' la deˊriveˊe\blue{\text{la dérivée}} de uu \qquad \qquad \quad u(x)=2{\color{red}{u'\left(x\right)=2}}
v(x)=1(2+x)4=(2+x)4{\color{purple}{v'\left(x\right)=\frac{1}{{\left(2+x\right)}^4}}=\left(2+x\right)^{-4}} \qquad on détermine vv une primitive\blue{\text{une primitive}} de vv' \qquad \qquad v(x)=14+1(2+x)4+1=(2+x)33=13(2+x)3{\color{green}{v\left(x\right)=\frac{1}{-4+1}{\left(2+x\right)}^{-4+1}=\frac{{\left(2+x\right)}^{-3}}{-3}=\frac{1}{-3{\left(2+x\right)}^3}}}
Les fonctions u\color{blue}{u} et v\color{green}{v} sont dérivables sur II et les fonctions u\color{red}{u'} et v\color{purple}{v'} sont continues sur II.
D'après la formule d'intégrations par parties :
B=111(2+x)4×2xdxB=\int _{-1}^{1}{\color{purple}{\frac{1}{{\left(2+x\right)}^4}}}\times{\color{blue}{2x}}dx
B=[(13(2+x)3)2x]1111((13(2+x)3)×2)dxB=\left[{\color{green}{\left(\frac{1}{-3{\left(2+x\right)}^3}\right)}}{\color{blue}{2x}}\right]_{-1}^{1} -\int _{-1}^{1}\left({\color{green}{\left(\frac{1}{-3{\left(2+x\right)}^3}\right)}}\times {\color{red}{2}} \right) dx
B=[2x3(2+x)3]11+1123(2+x)3dxB={\left[\frac{2x}{-3{\left(2+x\right)}^3}\right]}^1_{-1}+\int^1_{-1}{\frac{2}{3{\left(2+x\right)}^3}dx}
B=[2x3(2+x)3]11+1123(2+x)3dxB={\left[\frac{2x}{-3{\left(2+x\right)}^3}\right]}^1_{-1}+\int^1_{-1}{\frac{2}{3}{\left(2+x\right)}^{-3}dx}
B=[2x3(2+x)3]11+[23×13+1(2+x)3+1]11B={\left[\frac{2x}{-3{\left(2+x\right)}^3}\right]}^1_{-1}+{\left[\frac{2}{3}\times \frac{1}{-3+1}{\left(2+x\right)}^{-3+1}\right]}^1_{-1}
B=[2x3(2+x)3]11+[23×12(2+x)2]11B={\left[\frac{2x}{-3{\left(2+x\right)}^3}\right]}^1_{-1}+{\left[\frac{2}{3}\times \frac{1}{-2}{\left(2+x\right)}^{-2}\right]}^1_{-1}
B=[2x3(2+x)3]11+[13(2+x)2]11B={\left[\frac{2x}{-3{\left(2+x\right)}^3}\right]}^1_{-1}+{\left[-\frac{1}{3}{\left(2+x\right)}^{-2}\right]}^1_{-1}
B=[2x3(2+x)3]11+[13(2+x)2]11B={\left[\frac{2x}{-3{\left(2+x\right)}^3}\right]}^1_{-1}+{\left[-\frac{1}{3{\left(2+x\right)}^2}\right]}^1_{-1}
B=2×13(2+1)3(2×(1)3(21)3)13(2+1)2(13(21)2)B=\frac{2\times 1}{-3{\left(2+1\right)}^3}-\left(\frac{2\times \left(-1\right)}{-3{\left(2-1\right)}^3}\right)-\frac{1}{3{\left(2+1\right)}^2}-\left(-\frac{1}{3{\left(2-1\right)}^2}\right)
B=23×33(23×13)13×32+13×12B=\frac{2}{-3\times 3^3}-\left(\frac{-2}{-3\times 1^3}\right)-\frac{1}{3\times 3^2}+\frac{1}{3\times 1^2}
B=28123127+13B=-\frac{2}{81}-\frac{2}{3}-\frac{1}{27}+\frac{1}{3}
B=2812×273×271×327×3+1×273×27B=-\frac{2}{81}-\frac{2\times 27}{3\times 27}-\frac{1\times 3}{27\times 3}+\frac{1\times 27}{3\times 27}
B=2815481381+2781B=-\frac{2}{81}-\frac{54}{81}-\frac{3}{81}+\frac{27}{81}
Ainsi :
B=3281B=-\frac{32}{81}