Calculer une intégrale à l'aide d'une intégrations par parties - Exercice 3

Pour tout réel $$x$$ de $$I=\left[\frac{\pi}{2};\pi\right]$$, on pose :
$${\color{blue}{u\left(x\right)=3x^2+1}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$u'$$ $$\blue{\text{la dérivée}}$$ de $$u$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $$\quad$$ $${\color{red}{u'\left(x\right)=6x}}$$
$${\color{purple}{v'\left(x\right)={\mathrm{cos} \left(x\right)\ }}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$v$$ $$\blue{\text{une primitive}}$$ de $$v'$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $${\color{green}{v\left(x\right)={\mathrm{sin} \left(x\right)\ }}}$$
Les fonctions $$\color{blue}{u}$$ et $$\color{green}{v}$$ sont dérivables sur $$I$$ et les fonctions $$\color{red}{u'}$$ et $$\color{purple}{v'}$$ sont continues sur $$I$$.
D'après la formule d'intégrations par parties :
$$A=\int _{\frac{\pi}{2}}^{\pi}{\color{blue}{\left(3x^2+1\right)}}{\color{purple}{{\mathrm{cos} \left(x\right)\ }}} dx$$
$$A=\left[{\color{blue}{\left(3x^2+1\right)}}\times {\color{green}{{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }}} \right]_{\frac{\pi }{2}}^{\pi} -\int _{\frac{\pi }{2}}^{\pi}{\color{red}{6x}}\times{\color{green}{{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }}}dx$$
$$A={\left[\left(3x^2+1\right){\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right]}^{\pi }_{\frac{\pi }{2}} -\int^{\pi }_{\frac{\pi }{2}}{6x{\mathrm{sin} \left(x\right)dx\ }}$$
Il nous faut donc calculer $$\int^{\pi }_{\frac{\pi }{2}}{6x{\mathrm{sin} \left(x\right)dx\ }}$$ . On reconnait à nouveau une intégration par parties.
On note alors : $$B=\int^{\pi }_{\frac{\pi }{2}}{6x{\mathrm{sin} \left(x\right)dx\ }}$$
Pour tout réel $$x$$ de $$I=\left[\frac{\pi}{2};\pi\right]$$, on pose :
$${\color{blue}{u\left(x\right)=6x}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$u'$$ $$\blue{\text{la dérivée}}$$ de $$u$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $$\quad$$ $${\color{red}{u'\left(x\right)=6}}$$
$${\color{purple}{v'\left(x\right)={\mathrm{sin} \left(x\right)\ }}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$v$$ $$\blue{\text{une primitive}}$$ de $$v'$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $${\color{green}{v\left(x\right)={-\mathrm{cos} \left(x\right)\ }}}$$
Les fonctions $$\color{blue}{u}$$ et $$\color{green}{v}$$ sont dérivables sur $$I$$ et les fonctions $$\color{red}{u'}$$ et $$\color{purple}{v'}$$ sont continues sur $$I$$.
D'après la formule d'intégrations par parties :
$$B=\int _{\frac{\pi}{2}}^{\pi}{\color{blue}{6x}}{\color{purple}{{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }}} dx$$
$$B=\left[{\color{blue}{6x}}\times \left({\color{green}{{-\mathrm{cos} \left(x\right)\ }}}\right) \right]_{\frac{\pi }{2}}^{\pi} -\int _{\frac{\pi }{2}}^{\pi}{\color{red}{6}}\times\left({\color{green}{{-\mathrm{cos} \left(x\right)\ }}}\right)dx$$
$$B={\left[-6x{\mathrm{cos} \left(x\right)\ }\right]}^{\pi }_{\frac{\pi }{2}}+\int^{\pi }_{\frac{\pi }{2}}{6{\mathrm{cos} \left(x\right)dx\ }}$$
$$B={\left[-6x{\mathrm{cos} \left(x\right)\ }\right]}^{\pi }_{\frac{\pi }{2}}+{\left[6{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right]}^{\pi }_{\frac{\pi }{2}}$$
Il en résulte donc que :
$$\int^{\pi }_{\frac{\pi }{2}}{\left(3x^2+1\right){\mathrm{cos} \left(x\right)\ }dx}={\left[\left(3x^2+1\right){\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right]}^{\pi }_{\frac{\pi }{2}}-B$$
$$\int^{\pi }_{\frac{\pi }{2}}{\left(3x^2+1\right){\mathrm{cos} \left(x\right)\ }dx}={\left[\left(3x^2+1\right){\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right]}^{\pi }_{\frac{\pi }{2}}-\left({\left[-6x{\mathrm{cos} \left(x\right)\ }\right]}^{\pi }_{\frac{\pi }{2}}+{\left[6{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right]}^{\pi }_{\frac{\pi }{2}}\right)$$
$$\int^{\pi }_{\frac{\pi }{2}}{\left(3x^2+1\right){\mathrm{cos} \left(x\right)\ }dx}={\left[\left(3x^2+1\right){\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right]}^{\pi }_{\frac{\pi }{2}}-{\left[-6x{\mathrm{cos} \left(x\right)\ }\right]}^{\pi }_{\frac{\pi }{2}}-{\left[6{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right]}^{\pi }_{\frac{\pi }{2}}$$
$$\int^{\pi }_{\frac{\pi }{2}}{\left(3x^2+1\right){\mathrm{cos} \left(x\right)\ }dx}=\left(3{\pi }^2+1\right){\mathrm{sin} \left(\pi \right)\ }-\left(3\times {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^2+1\right){\mathrm{sin} \left(\frac{\pi }{2}\right)\ }-\left(-6\pi {\mathrm{cos} \left(\pi \right)\ }-\left(-6\times \frac{\pi }{2}\times{\mathrm{cos} \left(\frac{\pi }{2}\right)\ }\right)\right)-\left(6{\mathrm{sin} \left(\pi \right)\ }-6{\mathrm{sin} \left(\frac{\pi }{2}\right)\ }\right)$$
$$\int^{\pi }_{\frac{\pi }{2}}{\left(3x^2+1\right){\mathrm{cos} \left(x\right)\ }dx}=-3\times {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^2-1-6\pi +6$$
Ainsi :

On peut alors écrire que : $$B=\int^1_{-1}{\frac{2x}{{\left(2+x\right)}^4}dx}=\int^1_{-1}{2x\times \frac{1}{{\left(2+x\right)}^4}dx}$$ Pour tout réel $$x$$ de $$I=\left[-1;1\right]$$, on pose :
$${\color{blue}{u\left(x\right)=2x}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$u'$$ $$\blue{\text{la dérivée}}$$ de $$u$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $$\quad$$ $${\color{red}{u'\left(x\right)=2}}$$
$${\color{purple}{v'\left(x\right)=\frac{1}{{\left(2+x\right)}^4}}=\left(2+x\right)^{-4}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$v$$ $$\blue{\text{une primitive}}$$ de $$v'$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $${\color{green}{v\left(x\right)=\frac{1}{-4+1}{\left(2+x\right)}^{-4+1}=\frac{{\left(2+x\right)}^{-3}}{-3}=\frac{1}{-3{\left(2+x\right)}^3}}}$$
Les fonctions $$\color{blue}{u}$$ et $$\color{green}{v}$$ sont dérivables sur $$I$$ et les fonctions $$\color{red}{u'}$$ et $$\color{purple}{v'}$$ sont continues sur $$I$$.
D'après la formule d'intégrations par parties :
$$B=\int _{-1}^{1}{\color{purple}{\frac{1}{{\left(2+x\right)}^4}}}\times{\color{blue}{2x}}dx$$
$$B=\left[{\color{green}{\left(\frac{1}{-3{\left(2+x\right)}^3}\right)}}{\color{blue}{2x}}\right]_{-1}^{1} -\int _{-1}^{1}\left({\color{green}{\left(\frac{1}{-3{\left(2+x\right)}^3}\right)}}\times {\color{red}{2}} \right) dx$$
$$B={\left[\frac{2x}{-3{\left(2+x\right)}^3}\right]}^1_{-1}+\int^1_{-1}{\frac{2}{3{\left(2+x\right)}^3}dx}$$
$$B={\left[\frac{2x}{-3{\left(2+x\right)}^3}\right]}^1_{-1}+\int^1_{-1}{\frac{2}{3}{\left(2+x\right)}^{-3}dx}$$
$$B={\left[\frac{2x}{-3{\left(2+x\right)}^3}\right]}^1_{-1}+{\left[\frac{2}{3}\times \frac{1}{-3+1}{\left(2+x\right)}^{-3+1}\right]}^1_{-1}$$
$$B={\left[\frac{2x}{-3{\left(2+x\right)}^3}\right]}^1_{-1}+{\left[\frac{2}{3}\times \frac{1}{-2}{\left(2+x\right)}^{-2}\right]}^1_{-1}$$
$$B={\left[\frac{2x}{-3{\left(2+x\right)}^3}\right]}^1_{-1}+{\left[-\frac{1}{3}{\left(2+x\right)}^{-2}\right]}^1_{-1}$$
$$B={\left[\frac{2x}{-3{\left(2+x\right)}^3}\right]}^1_{-1}+{\left[-\frac{1}{3{\left(2+x\right)}^2}\right]}^1_{-1}$$
$$B=\frac{2\times 1}{-3{\left(2+1\right)}^3}-\left(\frac{2\times \left(-1\right)}{-3{\left(2-1\right)}^3}\right)-\frac{1}{3{\left(2+1\right)}^2}-\left(-\frac{1}{3{\left(2-1\right)}^2}\right)$$
$$B=\frac{2}{-3\times 3^3}-\left(\frac{-2}{-3\times 1^3}\right)-\frac{1}{3\times 3^2}+\frac{1}{3\times 1^2}$$
$$B=-\frac{2}{81}-\frac{2}{3}-\frac{1}{27}+\frac{1}{3}$$
$$B=-\frac{2}{81}-\frac{2\times 27}{3\times 27}-\frac{1\times 3}{27\times 3}+\frac{1\times 27}{3\times 27}$$
$$B=-\frac{2}{81}-\frac{54}{81}-\frac{3}{81}+\frac{27}{81}$$
Ainsi :