Calculer une intégrale à l'aide d'une intégrations par parties - Exercice 2

Pour tout réel $$x$$ de $$I=\left[1;2\right]$$, on pose :
$${\color{blue}{u\left(x\right)=4x-2}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$u'$$ $$\blue{\text{la dérivée}}$$ de $$u$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $$\quad$$ $${\color{red}{u'\left(x\right)=4}}$$
$${\color{purple}{v'\left(x\right)=e^{-x}}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$v$$ $$\blue{\text{une primitive}}$$ de $$v'$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $${\color{green}{v\left(x\right)=-e^{-x}}}$$
Les fonctions $$\color{blue}{u}$$ et $$\color{green}{v}$$ sont dérivables sur $$I$$ et les fonctions $$\color{red}{u'}$$ et $$\color{purple}{v'}$$ sont continues sur $$I$$.
D'après la formule d'intégrations par parties :
$$A=\int _{1}^{2}{\color{blue}{\left(4x-2\right)}}{\color{purple}{e^{-x}}} dx$$
$$A=\left[{\color{blue}{\left(4x-2\right)}}\times \left({\color{green}{-e^{-x}}} \right)\right]_{1}^{2} -\int _{1}^{2}{\color{red}{4}}\times\left({\color{green}{-e^{-x}}}\right)dx$$
$$A={\left[\left(4x-2\right)\times \left(-e^{-x}\right)\right]}^2_1-\int^2_1{-4e^{-x}}dx$$
$$A={\left[\left(4x-2\right)\times \left(-e^{-x}\right)\right]}^2_1+\int^2_1{4e^{-x}}dx$$
$$A={\left[\left(4x-2\right)\times \left(-e^{-x}\right)\right]}^2_1+{\left[-4e^{-x}\right]}^2_1$$
$$A=\left(4\times 2-2\right)\times \left(-e^{-2}\right)-\left(4\times 1-2\right)\times \left(-e^{-1}\right)-4e^{-2}-\left(-4e^{-1}\right)$$
$$A=6\left(-e^{-2}\right)-2\left(-e^{-1}\right)-4e^{-2}+4e^{-1}$$
$$A=-6e^{-2}+2e^{-1}-4e^{-2}+4e^{-1}$$
Ainsi :

$$B=\int^3_1{{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }dx}$$ que l'on peut écrire également :
$$B=\int^3_1{1\times {\mathrm{ln} \left(x\right)\ }dx}$$
Pour tout réel $$x$$ de $$I=\left[1;3\right]$$, on pose :
$${\color{blue}{u\left(x\right)={\mathrm{ln} \left(x\right)\ }}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$u'$$ $$\blue{\text{la dérivée}}$$ de $$u$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $$\quad$$ $${\color{red}{u'\left(x\right)=\frac{1}{x}}}$$
$${\color{purple}{v'\left(x\right)=1}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$v$$ $$\blue{\text{une primitive}}$$ de $$v'$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $${\color{green}{v\left(x\right)=x}}$$
Les fonctions $$\color{blue}{u}$$ et $$\color{green}{v}$$ sont dérivables sur $$I$$ et les fonctions $$\color{red}{u'}$$ et $$\color{purple}{v'}$$ sont continues sur $$I$$.
D'après la formule d'intégrations par parties :
$$B=\int _{1}^{3}{\color{blue}{{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }}}\times{\color{purple}{1}} dx$$
$$B=\left[{\color{blue}{{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }}}\times {\color{green}{x}} \right]_{1}^{3} -\int _{1}^{3}{\color{red}{\frac{1}{x}}}\times{\color{green}{x}}dx$$
$$B={\left[x{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }\right]}^3_1-\int^3_1{\frac{x}{x}dx}$$
$$B={\left[x{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }\right]}^3_1-\int^3_1{1dx}$$
$$B={\left[x{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }\right]}^3_1-{\left[x\right]}^3_1$$
$$B=3\times{\mathrm{ln} \left(3\right)-1\times{\mathrm{ln} \left(1\right)\ }\ }-\left(3-1\right)$$
$$B=3{\mathrm{ln} \left(3\right)-0\ }-2$$
Ainsi :