Calculer une intégrale à l'aide d'une intégrations par parties - Exercice 1

20 min
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Question 1

Calculer l'intégrale suivante avec la méthode d'intégration par parties : A=∫012xexdxA=\int _{0}^{1}2xe^{x} dx

Correction
    Formule d’inteˊgration par parties\red{\text{Formule d'intégration par parties}}
u\color{blue}{u} et v\color{green}{v} sont deux fonctions dérivables sur un intervalle II dont leurs dérivées u′\color{red}{u'} et v′\color{purple}{v'} sont continues sur II.
Pour tous réels aa et bb de II, nous avons alors :
∫abu(x)v′(x)dx=[u(x)v(x)]ab−∫abu′(x)v(x)dx\int _{a}^{b}{\color{blue}{u\left(x\right)}}{\color{purple}{v'\left(x\right)}}dx =\left[{\color{blue}{u\left(x\right)}}{\color{green}{v\left(x\right)}}\right]_{a}^{b} -\int _{a}^{b}{\color{red}{u'\left(x\right)}}{\color{green}{v\left(x\right)}}dx
Pour tout réel xx de I=[0;1]I=\left[0;1\right], on pose :
u(x)=2x{\color{blue}{u\left(x\right)=2x}} \qquad on détermine u′u' la deˊriveˊe\blue{\text{la dérivée}} de uu \qquad \qquad \quad u′(x)=2{\color{red}{u'\left(x\right)=2}}
v′(x)=ex{\color{purple}{v'\left(x\right)=e^{x}}} \qquad on détermine vv une primitive\blue{\text{une primitive}} de v′v' \qquad \qquad v(x)=ex{\color{green}{v\left(x\right)=e^{x}}}
Les fonctions u\color{blue}{u} et v\color{green}{v} sont dérivables sur II et les fonctions u′\color{red}{u'} et v′\color{purple}{v'} sont continues sur II.
D'après la formule d'intégrations par parties :
A=∫012xexdxA=\int _{0}^{1}{\color{blue}{2x}}{\color{purple}{e^{x}}} dx
A=[2xex]01−∫012exdxA=\left[{\color{blue}{2x}}{\color{green}{e^{x}}} \right]_{0}^{1} -\int _{0}^{1}{\color{red}{2}}{\color{green}{e^{x}}} dx
A=[2xex]01−[2ex]01A=\left[2xe^{x} \right]_{0}^{1} -\left[2e^{x} \right]_{0}^{1}
A=(2×1×e1−2×0×e0)−(2e1−2e0)A=\left(2\times 1\times e^{1} -2\times 0\times e^{0} \right)-\left(2e^{1} -2e^{0} \right)
A=2e−(2e−2)A=2e-\left(2e-2\right)
A=2e−2e+2A=2e-2e+2
Ainsi :
A=2A=2

Question 2

Calculer l'intégrale suivante avec la méthode d'intégration par parties : B=∫1e(4x+6)ln⁡(x)dxB=\int _{1}^{e}\left(4x+6\right)\ln \left(x\right)dx

Correction
    Formule d’inteˊgration par parties\red{\text{Formule d'intégration par parties}}
u\color{blue}{u} et v\color{green}{v} sont deux fonctions dérivables sur un intervalle II dont leurs dérivées u′\color{red}{u'} et v′\color{purple}{v'} sont continues sur II.
Pour tous réels aa et bb de II, nous avons alors :
∫abu(x)v′(x)dx=[u(x)v(x)]ab−∫abu′(x)v(x)dx\int _{a}^{b}{\color{blue}{u\left(x\right)}}{\color{purple}{v'\left(x\right)}}dx =\left[{\color{blue}{u\left(x\right)}}{\color{green}{v\left(x\right)}}\right]_{a}^{b} -\int _{a}^{b}{\color{red}{u'\left(x\right)}}{\color{green}{v\left(x\right)}}dx
Pour tout réel xx de I=[1;e]I=\left[1;e\right], on pose :
u(x)=ln⁡(x){\color{blue}{u\left(x\right)=\ln\left(x\right)}} \qquad on détermine u′u' la deˊriveˊe\blue{\text{la dérivée}} de uu \qquad \qquad \quad u′(x)=1x{\color{red}{u'\left(x\right)=\frac{1}{x}}}
v′(x)=4x+6{\color{purple}{v'\left(x\right)=4x+6}} \qquad on détermine vv une primitive\blue{\text{une primitive}} de v′v' \qquad \qquad v(x)=2x2+6x{\color{green}{v\left(x\right)=2x^{2}+6x}}
Les fonctions u\color{blue}{u} et v\color{green}{v} sont dérivables sur II et les fonctions u′\color{red}{u'} et v′\color{purple}{v'} sont continues sur II.
D'après la formule d'intégrations par parties :
B=∫1e(4x+6)ln⁡(x)dxB=\int _{1}^{e}{\color{purple}{\left(4x+6\right)}}{\color{blue}{\ln \left(x\right)}}dx
B=[(2x2+6x)ln⁡(x)]1e−∫1e((2x2+6x)×1x)dxB=\left[{\color{green}{\left(2x^{2} +6x\right)}}{\color{blue}{\ln \left(x\right)}}\right]_{1}^{e} -\int _{1}^{e}\left({\color{green}{\left(2x^{2} +6x\right)}}\times {\color{red}{\frac{1}{x}}} \right) dx
B=[(2x2+6x)ln⁡(x)]1e−∫1e(2x+6)dxB=\left[\left(2x^{2} +6x\right)\ln \left(x\right)\right]_{1}^{e} -\int _{1}^{e}\left(2x+6\right) dx
B=[(2x2+6x)ln⁡(x)]1e−[x2+6x]1eB=\left[\left(2x^{2} +6x\right)\ln \left(x\right)\right]_{1}^{e} -\left[x^{2} +6x\right]_{1}^{e}
B=[((2×e2+6×e)ln⁡(e))−((2×12+6×1)ln⁡(1))]−[(e2+6×e)−(12+6×1)]B=\left[\left(\left(2\times e^{2} +6\times e\right)\ln \left(e\right)\right)-\left(\left(2\times 1^{2} +6\times 1\right)\ln \left(1\right)\right)\right]-\left[\left(e^{2} +6\times e\right)-\left(1^{2} +6\times 1\right)\right]
B=[((2e2+6e)×1)−((2+6)×0)]−[(e2+6e)−(1+6)]B=\left[\left(\left(2e^{2} +6e\right)\times 1\right)-\left(\left(2+6\right)\times 0\right)\right]-\left[\left(e^{2} +6e\right)-\left(1+6\right)\right]
B=2e2+6e−[e2+6e−7]B=2e^{2} +6e-\left[e^{2} +6e-7\right]
B=2e2+6e−e2−6e+7B=2e^{2} +6e-e^{2} -6e+7
Ainsi :
B=e2+7B=e^{2} +7

Question 3

Calculer l'intégrale suivante avec la méthode d'intégration par parties : C=∫02(3x+9)e−xdxC=\int _{0}^{2}\left(3x+9\right)e^{-x} dx

Correction
    Formule d’inteˊgration par parties\red{\text{Formule d'intégration par parties}}
u\color{blue}{u} et v\color{green}{v} sont deux fonctions dérivables sur un intervalle II dont leurs dérivées u′\color{red}{u'} et v′\color{purple}{v'} sont continues sur II.
Pour tous réels aa et bb de II, nous avons alors :
∫abu(x)v′(x)dx=[u(x)v(x)]ab−∫abu′(x)v(x)dx\int _{a}^{b}{\color{blue}{u\left(x\right)}}{\color{purple}{v'\left(x\right)}}dx =\left[{\color{blue}{u\left(x\right)}}{\color{green}{v\left(x\right)}}\right]_{a}^{b} -\int _{a}^{b}{\color{red}{u'\left(x\right)}}{\color{green}{v\left(x\right)}}dx
Pour tout réel xx de I=[0;2]I=\left[0;2\right], on pose :
u(x)=3x+9{\color{blue}{u\left(x\right)=3x+9}} \qquad on détermine u′u' la deˊriveˊe\blue{\text{la dérivée}} de uu \qquad \qquad \quad u′(x)=3{\color{red}{u'\left(x\right)=3}}
v′(x)=e−x{\color{purple}{v'\left(x\right)=e^{-x}}} \qquad on détermine vv une primitive\blue{\text{une primitive}} de v′v' \qquad \qquad v(x)=−e−x{\color{green}{v\left(x\right)=-e^{-x}}}
Les fonctions u\color{blue}{u} et v\color{green}{v} sont dérivables sur II et les fonctions u′\color{red}{u'} et v′\color{purple}{v'} sont continues sur II.
D'après la formule d'intégrations par parties :
C=∫02(3x+9)e−xdxC=\int _{0}^{2}{\color{blue}{\left(3x+9\right)}}{\color{purple}{e^{-x}}} dx
C=[(3x+9)(−e−x)]02−∫02(3×(−e−x))dxC=\left[{\color{blue}{\left(3x+9\right)}}{\color{green}{\left(-e^{-x} \right)}}\right]_{0}^{2} -\int _{0}^{2}\left({\color{red}{3}}\times{\color{green}{\left(-e^{-x}\right)}} \right)dx
C=[−(3x+9)e−x]02−(∫02−3e−xdx)C=\left[-\left(3x+9\right)e^{-x} \right]_{0}^{2} -\left(\int _{0}^{2}-3e^{-x} dx\right)
C=[−(3x+9)e−x]02+∫023e−xdxC=\left[-\left(3x+9\right)e^{-x} \right]_{0}^{2} +\int _{0}^{2}3e^{-x} dx
C=[−(3x+9)e−x]02+[−3e−x]02C=\left[-\left(3x+9\right)e^{-x} \right]_{0}^{2} +\left[-3e^{-x} \right]_{0}^{2}
C=(−(3×2+9)e−2−(−(3×0+9)e−0))+(−3e−2−(−3e−0))C=\left(-\left(3\times 2+9\right)e^{-2} -\left(-\left(3\times 0+9\right)e^{-0} \right)\right)+\left(-3e^{-2} -\left(-3e^{-0} \right)\right)
C=(−15e−2−(−9e−0))+(−3e−2−(−3e−0))C=\left(-15e^{-2} -\left(-9e^{-0} \right)\right)+\left(-3e^{-2} -\left(-3e^{-0} \right)\right)
C=(−15e−2−(−9))+(−3e−2−(−3))C=\left(-15e^{-2} -\left(-9\right)\right)+\left(-3e^{-2} -\left(-3\right)\right)
C=(−15e−2+9)+(−3e−2+3)C=\left(-15e^{-2} +9\right)+\left(-3e^{-2} +3\right)
C=−15e−2+9−3e−2+3C=-15e^{-2} +9-3e^{-2} +3
Ainsi :
C=−18e−2+12C=-18e^{-2} +12

Question 4

Calculer l'intégrale suivante avec la méthode d'intégration par parties : D=∫0π2xsin⁡(x)dxD=\int _{0}^{\frac{\pi }{2} }x\sin \left(x\right) dx

Correction
    Formule d’inteˊgration par parties\red{\text{Formule d'intégration par parties}}
u\color{blue}{u} et v\color{green}{v} sont deux fonctions dérivables sur un intervalle II dont leurs dérivées u′\color{red}{u'} et v′\color{purple}{v'} sont continues sur II.
Pour tous réels aa et bb de II, nous avons alors :
∫abu(x)v′(x)dx=[u(x)v(x)]ab−∫abu′(x)v(x)dx\int _{a}^{b}{\color{blue}{u\left(x\right)}}{\color{purple}{v'\left(x\right)}}dx =\left[{\color{blue}{u\left(x\right)}}{\color{green}{v\left(x\right)}}\right]_{a}^{b} -\int _{a}^{b}{\color{red}{u'\left(x\right)}}{\color{green}{v\left(x\right)}}dx
Pour tout réel xx de I=[0;π2]I=\left[0;\frac{\pi }{2}\right], on pose :
u(x)=x{\color{blue}{u\left(x\right)=x}} \qquad on détermine u′u' la deˊriveˊe\blue{\text{la dérivée}} de uu \qquad \qquad \quad u′(x)=1{\color{red}{u'\left(x\right)=1}}
v′(x)=sin⁡(x){\color{purple}{v'\left(x\right)=\sin \left(x\right)}} \qquad on détermine vv une primitive\blue{\text{une primitive}} de v′v' \qquad \qquad v(x)=−cos⁡(x){\color{green}{v\left(x\right)=-\cos \left(x\right)}}
Les fonctions u\color{blue}{u} et v\color{green}{v} sont dérivables sur II et les fonctions u′\color{red}{u'} et v′\color{purple}{v'} sont continues sur II.
D'après la formule d'intégrations par parties :
D=∫0π2xsin⁡(x)dxD=\int _{0}^{\frac{\pi }{2} }{\color{blue}{x}}{\color{purple}{\sin \left(x\right)}} dx
D=[x×(−cos⁡(x))]0π2_∫0π21×(−cos⁡(x))dxD=\left[{\color{blue}{x}}\times {\color{green}{\left(-\cos \left(x\right)\right)}}\right]_{0}^{\frac{\pi }{2} } \_ \int _{0}^{\frac{\pi }{2} }{\color{red}{1}}\times {\color{green}{\left(-\cos \left(x\right)\right)}}dx
D=[−xcos⁡(x)]0π2+∫0π2cos⁡(x)dxD=\left[-x\cos \left(x\right)\right]_{0}^{\frac{\pi }{2} } +\int _{0}^{\frac{\pi }{2} }\cos \left(x\right)dx
D=[−xcos⁡(x)]0π2+[sin⁡(x)]0π2D=\left[-x\cos \left(x\right)\right]_{0}^{\frac{\pi }{2} } +\left[\sin \left(x\right)\right]_{0}^{\frac{\pi }{2} }
D=(−π2×cos⁡(π2)−(−0×cos⁡(0)))+(sin⁡(π2)−sin⁡(0))D=\left(-\frac{\pi }{2} \times \cos \left(\frac{\pi }{2} \right)-\left(-0\times \cos \left(0\right)\right)\right)+\left(\sin \left(\frac{\pi }{2} \right)-\sin \left(0\right)\right)
D=(−π2×0−(−0×1))+(1−0)D=\left(-\frac{\pi }{2} \times 0-\left(-0\times 1\right)\right)+\left(1-0\right)
D=0+1D=0+1
Ainsi :
D=1D=1

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