Calculer une intégrale à l'aide d'une intégrations par parties - Exercice 1

Pour tout réel $$x$$ de $$I=\left[0;1\right]$$, on pose :
$${\color{blue}{u\left(x\right)=2x}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$u'$$ $$\blue{\text{la dérivée}}$$ de $$u$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $$\quad$$ $${\color{red}{u'\left(x\right)=2}}$$
$${\color{purple}{v'\left(x\right)=e^{x}}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$v$$ $$\blue{\text{une primitive}}$$ de $$v'$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $${\color{green}{v\left(x\right)=e^{x}}}$$
Les fonctions $$\color{blue}{u}$$ et $$\color{green}{v}$$ sont dérivables sur $$I$$ et les fonctions $$\color{red}{u'}$$ et $$\color{purple}{v'}$$ sont continues sur $$I$$.
D'après la formule d'intégrations par parties :
$$A=\int _{0}^{1}{\color{blue}{2x}}{\color{purple}{e^{x}}} dx$$
$$A=\left[{\color{blue}{2x}}{\color{green}{e^{x}}} \right]_{0}^{1} -\int _{0}^{1}{\color{red}{2}}{\color{green}{e^{x}}} dx$$
$$A=\left[2xe^{x} \right]_{0}^{1} -\left[2e^{x} \right]_{0}^{1}$$
$$A=\left(2\times 1\times e^{1} -2\times 0\times e^{0} \right)-\left(2e^{1} -2e^{0} \right)$$
$$A=2e-\left(2e-2\right)$$
$$A=2e-2e+2$$
Ainsi :

Pour tout réel $$x$$ de $$I=\left[1;e\right]$$, on pose :
$${\color{blue}{u\left(x\right)=\ln\left(x\right)}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$u'$$ $$\blue{\text{la dérivée}}$$ de $$u$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $$\quad$$ $${\color{red}{u'\left(x\right)=\frac{1}{x}}}$$
$${\color{purple}{v'\left(x\right)=4x+6}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$v$$ $$\blue{\text{une primitive}}$$ de $$v'$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $${\color{green}{v\left(x\right)=2x^{2}+6x}}$$
Les fonctions $$\color{blue}{u}$$ et $$\color{green}{v}$$ sont dérivables sur $$I$$ et les fonctions $$\color{red}{u'}$$ et $$\color{purple}{v'}$$ sont continues sur $$I$$.
D'après la formule d'intégrations par parties :
$$B=\int _{1}^{e}{\color{purple}{\left(4x+6\right)}}{\color{blue}{\ln \left(x\right)}}dx$$
$$B=\left[{\color{green}{\left(2x^{2} +6x\right)}}{\color{blue}{\ln \left(x\right)}}\right]_{1}^{e} -\int _{1}^{e}\left({\color{green}{\left(2x^{2} +6x\right)}}\times {\color{red}{\frac{1}{x}}} \right) dx$$
$$B=\left[\left(2x^{2} +6x\right)\ln \left(x\right)\right]_{1}^{e} -\int _{1}^{e}\left(2x+6\right) dx$$
$$B=\left[\left(2x^{2} +6x\right)\ln \left(x\right)\right]_{1}^{e} -\left[x^{2} +6x\right]_{1}^{e}$$
$$B=\left[\left(\left(2\times e^{2} +6\times e\right)\ln \left(e\right)\right)-\left(\left(2\times 1^{2} +6\times 1\right)\ln \left(1\right)\right)\right]-\left[\left(e^{2} +6\times e\right)-\left(1^{2} +6\times 1\right)\right]$$
$$B=\left[\left(\left(2e^{2} +6e\right)\times 1\right)-\left(\left(2+6\right)\times 0\right)\right]-\left[\left(e^{2} +6e\right)-\left(1+6\right)\right]$$
$$B=2e^{2} +6e-\left[e^{2} +6e-7\right]$$
$$B=2e^{2} +6e-e^{2} -6e+7$$
Ainsi :

Pour tout réel $$x$$ de $$I=\left[0;2\right]$$, on pose :
$${\color{blue}{u\left(x\right)=3x+9}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$u'$$ $$\blue{\text{la dérivée}}$$ de $$u$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $$\quad$$ $${\color{red}{u'\left(x\right)=3}}$$
$${\color{purple}{v'\left(x\right)=e^{-x}}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$v$$ $$\blue{\text{une primitive}}$$ de $$v'$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $${\color{green}{v\left(x\right)=-e^{-x}}}$$
Les fonctions $$\color{blue}{u}$$ et $$\color{green}{v}$$ sont dérivables sur $$I$$ et les fonctions $$\color{red}{u'}$$ et $$\color{purple}{v'}$$ sont continues sur $$I$$.
D'après la formule d'intégrations par parties :
$$C=\int _{0}^{2}{\color{blue}{\left(3x+9\right)}}{\color{purple}{e^{-x}}} dx$$
$$C=\left[{\color{blue}{\left(3x+9\right)}}{\color{green}{\left(-e^{-x} \right)}}\right]_{0}^{2} -\int _{0}^{2}\left({\color{red}{3}}\times{\color{green}{\left(-e^{-x}\right)}} \right)dx$$
$$C=\left[-\left(3x+9\right)e^{-x} \right]_{0}^{2} -\left(\int _{0}^{2}-3e^{-x} dx\right)$$
$$C=\left[-\left(3x+9\right)e^{-x} \right]_{0}^{2} +\int _{0}^{2}3e^{-x} dx$$
$$C=\left[-\left(3x+9\right)e^{-x} \right]_{0}^{2} +\left[-3e^{-x} \right]_{0}^{2}$$
$$C=\left(-\left(3\times 2+9\right)e^{-2} -\left(-\left(3\times 0+9\right)e^{-0} \right)\right)+\left(-3e^{-2} -\left(-3e^{-0} \right)\right)$$
$$C=\left(-15e^{-2} -\left(-9e^{-0} \right)\right)+\left(-3e^{-2} -\left(-3e^{-0} \right)\right)$$
$$C=\left(-15e^{-2} -\left(-9\right)\right)+\left(-3e^{-2} -\left(-3\right)\right)$$
$$C=\left(-15e^{-2} +9\right)+\left(-3e^{-2} +3\right)$$
$$C=-15e^{-2} +9-3e^{-2} +3$$
Ainsi :

Pour tout réel $$x$$ de $$I=\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$$, on pose :
$${\color{blue}{u\left(x\right)=x}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$u'$$ $$\blue{\text{la dérivée}}$$ de $$u$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $$\quad$$ $${\color{red}{u'\left(x\right)=1}}$$
$${\color{purple}{v'\left(x\right)=\sin \left(x\right)}}$$ $$\qquad$$ on détermine $$v$$ $$\blue{\text{une primitive}}$$ de $$v'$$ $$\qquad$$ $$\qquad$$ $${\color{green}{v\left(x\right)=-\cos \left(x\right)}}$$
Les fonctions $$\color{blue}{u}$$ et $$\color{green}{v}$$ sont dérivables sur $$I$$ et les fonctions $$\color{red}{u'}$$ et $$\color{purple}{v'}$$ sont continues sur $$I$$.
D'après la formule d'intégrations par parties :
$$D=\int _{0}^{\frac{\pi }{2} }{\color{blue}{x}}{\color{purple}{\sin \left(x\right)}} dx$$
$$D=\left[{\color{blue}{x}}\times {\color{green}{\left(-\cos \left(x\right)\right)}}\right]_{0}^{\frac{\pi }{2} } \_ \int _{0}^{\frac{\pi }{2} }{\color{red}{1}}\times {\color{green}{\left(-\cos \left(x\right)\right)}}dx$$
$$D=\left[-x\cos \left(x\right)\right]_{0}^{\frac{\pi }{2} } +\int _{0}^{\frac{\pi }{2} }\cos \left(x\right)dx$$
$$D=\left[-x\cos \left(x\right)\right]_{0}^{\frac{\pi }{2} } +\left[\sin \left(x\right)\right]_{0}^{\frac{\pi }{2} }$$
$$D=\left(-\frac{\pi }{2} \times \cos \left(\frac{\pi }{2} \right)-\left(-0\times \cos \left(0\right)\right)\right)+\left(\sin \left(\frac{\pi }{2} \right)-\sin \left(0\right)\right)$$
$$D=\left(-\frac{\pi }{2} \times 0-\left(-0\times 1\right)\right)+\left(1-0\right)$$
$$D=0+1$$
Ainsi :