Relation de Chasles

$\overrightarrow{u} =\overrightarrow{A\red{\mathbf{E}}}+\overrightarrow{\red{\mathbf{E}}D}+\overrightarrow{DA}$ équivaut successivement à :
$\overrightarrow{u} =\overrightarrow{A\red{\mathbf{D}}}+\overrightarrow{\red{\mathbf{D}}A}$
$\overrightarrow{u} =\overrightarrow{AA}$
Ainsi :

Soit $\overrightarrow{v} =\overrightarrow{HF}-\overrightarrow{HC}-\overrightarrow{FC}$ .
La première chose que nous allons effectuer c'est de faire apparaitre les vecteurs opposés aux vecteurs qui ont des signes $\left(-\right)$. Il vient alors que :
$\overrightarrow{v} =\overrightarrow{HF}+\overrightarrow{CH}+\overrightarrow{CF}$ équivaut successivement à :
$\overrightarrow{v} =\overrightarrow{C\red{\mathbf{H}}}+\overrightarrow{\red{\mathbf{H}}F}+\overrightarrow{CF}$
$\overrightarrow{v} =\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{CF}$

Soit : $\overrightarrow{w} =\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}$
La première chose que nous allons effectuer c'est de faire apparaitre les vecteurs opposés aux vecteurs qui ont des signes $\left(-\right)$. Il vient alors que :
$\overrightarrow{w} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}$
On peut alors écrire que :
$\overrightarrow{w} =\overrightarrow{C\red{\mathbf{A}}}+\overrightarrow{\red{\mathbf{A}}B}+\overrightarrow{A\red{\mathbf{B}}}+\overrightarrow{\red{\mathbf{B}}C}$
$\overrightarrow{w} =\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}$
$\overrightarrow{w} =\overrightarrow{A\red{\mathbf{C}}}+\overrightarrow{\red{\mathbf{C}}B}$

Nous avons dessiné pour vous la figure de l'énoncé, ci-dessous :
D'après la figure, on vérifie facilement que : $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CO}$ et que $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{DO}$.
Il en résulte donc que :
$\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{CO} +\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$
$\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{C\red{\mathbf{O}}} +\overrightarrow{\red{\mathbf{O}}C}+\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OD}$
$\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{CC} +\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OD}$
$\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0} +\overrightarrow{D\red{\mathbf{O}}}+\overrightarrow{\red{\mathbf{O}}D}$ . En effet : $\overrightarrow{CC}=\overrightarrow{0}$
$\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0} +\overrightarrow{DD}$
$\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0} +\overrightarrow{0}$
Ainsi :

Nous allons utiliser la relation de Chasles pour chaque vecteur avec le point $O$. Cela nous donne :
$\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{M\red{\mathbf{O}}}+\overrightarrow{\red{\mathbf{O}}A}$ ; $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{M\red{\mathbf{O}}}+\overrightarrow{\red{\mathbf{O}}B}$ ; $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{M\red{\mathbf{O}}}+\overrightarrow{\red{\mathbf{O}}C}$ ; $\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{M\red{\mathbf{O}}}+\overrightarrow{\red{\mathbf{O}}D}$
Il vient alors que :
$\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}$
$\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$
D'après la question $1$, on sait que : $\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$.
Il en résulte donc que :
$\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{0}$

$\overrightarrow{B\ldots}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{\ldots C}$ équivaut successivement à :

$\overrightarrow{\ldots}+\overrightarrow{A\ldots}=\overrightarrow{OE}$ équivaut successivement à :

$\overrightarrow{B\ldots}+\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{\ldots}=\overrightarrow{0}$ équivaut successivement à :

$\overrightarrow{B\ldots}+\overrightarrow{C\ldots}+\overrightarrow{A\ldots}=\overrightarrow{\ldots F}$ équivaut successivement à :

$\overrightarrow{u} =\overrightarrow{AC} -\overrightarrow{EF} +\overrightarrow{EB} -\overrightarrow{FC} +\overrightarrow{BA}$
$\overrightarrow{u} =\overrightarrow{AC} +\overrightarrow{F\red{\mathbf{E}}} +\overrightarrow{\red{\mathbf{E}}B} +\overrightarrow{CF} +\overrightarrow{BA}$
$\overrightarrow{u} =\overrightarrow{AC} +\overrightarrow{FB} +\overrightarrow{CF} +\overrightarrow{BA}$
$\overrightarrow{u} =\overrightarrow{A\red{\mathbf{C}}} +\overrightarrow{\red{\mathbf{C}}F} +\overrightarrow{F\red{\mathbf{B}}} +\overrightarrow{\red{\mathbf{B}}A}$
$\overrightarrow{u} =\overrightarrow{A\red{\mathbf{F}}} +\overrightarrow{\red{\mathbf{F}}A}$
$\overrightarrow{u} =\overrightarrow{AA}$
Ainsi :