Quels que soient les points A, B et C on a : AB+BC=AC
u=AE+ED+DA équivaut successivement à : u=AD+DA u=AA Ainsi :
u=0
2
v=HF−HC−FC
Correction
La relation de Chasles.
Quels que soient les points A, B et C on a : AB+BC=AC
Opposé d'un vecteur.
L'opposé du vecteur AB est le vecteur BA. Nous avons alors : AB=−BA
Soit v=HF−HC−FC . La première chose que nous allons effectuer c'est de faire apparaitre les vecteurs opposés aux vecteurs qui ont des signes (−). Il vient alors que : v=HF+CH+CF équivaut successivement à :
Propriétés algébriques. Quels que soient les vecteurs u ; v et w, on a :
u+v=v+u
(u+v)+w=u+(v+w)
v=CH+HF+CF v=CF+CF
v=2CF
3
w=AB−AC+BC−BA
Correction
Soit : w=AB−AC+BC−BA
Opposé d'un vecteur.
L'opposé du vecteur AB est le vecteur BA. Nous avons alors : AB=−BA
La première chose que nous allons effectuer c'est de faire apparaitre les vecteurs opposés aux vecteurs qui ont des signes (−). Il vient alors que : w=AB+CA+BC+AB
Propriétés algébriques. Quels que soient les vecteurs u ; v et w, on a :
u+v=v+u
(u+v)+w=u+(v+w)
On peut alors écrire que : w=CA+AB+AB+BC w=CB+AC w=AC+CB
w=AB
Exercice 2
ABCD est un parallélogramme de centre O.
1
Montrer que OA+OB+OC+OD=0
Correction
Nous avons dessiné pour vous la figure de l'énoncé, ci-dessous :
D'après la figure, on vérifie facilement que : OA=CO et que OB=DO. Il en résulte donc que : OA+OB+OC+OD=CO+DO+OC+OD OA+OB+OC+OD=CO+OC+DO+OD OA+OB+OC+OD=CC+DO+OD OA+OB+OC+OD=0+DO+OD . En effet : CC=0 OA+OB+OC+OD=0+DD OA+OB+OC+OD=0+0 Ainsi :
OA+OB+OC+OD=0
2
En déduire que pour tout point M du plan MA+MB+MC+MD=4MO
Correction
Nous allons utiliser la relation de Chasles pour chaque vecteur avec le point O. Cela nous donne : MA=MO+OA ; MB=MO+OB ; MC=MO+OC ; MD=MO+OD Il vient alors que : MA+MB+MC+MD=MO+OA+MO+OB+MO+OC+MO+OD MA+MB+MC+MD=4MO+OA+OB+OC+OD D'après la question 1, on sait que : OA+OB+OC+OD=0. Il en résulte donc que : MA+MB+MC+MD=4MO+0
MA+MB+MC+MD=4MO
Exercice 3
Compléter les égalités suivantes en utilisant la relation de Chasles. Les lettres rajoutées seront écrites en gras.
1
AB+BD=
Correction
La relation de Chasles.
Quels que soient les points A, B et C on a : AB+BC=AC
AB+BD=AD
2
B…+AC=…C
Correction
La relation de Chasles.
Quels que soient les points A, B et C on a : AB+BC=AC
B…+AC=…C équivaut successivement à :
BA+AC=BC
3
…+A…=OE
Correction
La relation de Chasles.
Quels que soient les points A, B et C on a : AB+BC=AC
…+A…=OE équivaut successivement à :
OA+AE=OE
4
B…+HD+…=0
Correction
Vecteur nul.
Quels que soient les points A et B , on a : AA=0 ou encore BB=0
B…+HD+…=0 équivaut successivement à :
BH+HD+DB=0
5
B…+C…+A…=…F
Correction
La relation de Chasles.
Quels que soient les points A, B et C on a : AB+BC=AC
B…+C…+A…=…F équivaut successivement à :
BC+CA+AF=BF
Exercice 4
Simplifier les expressions vectorielles suivantes en détaillant les calculs :
1
u=AC−EF+EB−FC+BA
Correction
u=AC−EF+EB−FC+BA
Opposé d'un vecteur.
L'opposé du vecteur AB est le vecteur BA. Nous avons alors : AB=−BA
u=AC+FE+EB+CF+BA u=AC+FB+CF+BA u=AC+CF+FB+BA u=AF+FA u=AA Ainsi :
u=0
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