Vecteurs du plan : première Partie

Relation de Chasles - Exercice 1

8 min
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Simplifier les écritures suivantes en utilisant la relation de Chasles.
Question 1

u→=AE→+ED→+DA→\overrightarrow{u} =\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DA}

Correction
    La relation de Chasles.
  • Quels que soient les points AA, BB et CC on a : AB→+BC→=AC→\overrightarrow{A\red{\mathbf{B}}}+\overrightarrow{\red{\mathbf{B}}C}=\overrightarrow{AC}
u→=AE→+ED→+DA→\overrightarrow{u} =\overrightarrow{A\red{\mathbf{E}}}+\overrightarrow{\red{\mathbf{E}}D}+\overrightarrow{DA} équivaut successivement à :
u→=AD→+DA→\overrightarrow{u} =\overrightarrow{A\red{\mathbf{D}}}+\overrightarrow{\red{\mathbf{D}}A}
u→=AA→\overrightarrow{u} =\overrightarrow{AA}
Ainsi :
u→=0→\overrightarrow{u} =\overrightarrow{0}
Question 2

v→=HF→−HC→−FC→\overrightarrow{v} =\overrightarrow{HF}-\overrightarrow{HC}-\overrightarrow{FC}

Correction
    La relation de Chasles.
  • Quels que soient les points AA, BB et CC on a : AB→+BC→=AC→\overrightarrow{A\red{\mathbf{B}}}+\overrightarrow{\red{\mathbf{B}}C}=\overrightarrow{AC}
    Opposé d'un vecteur.
  • L'opposé du vecteur AB→\overrightarrow{AB} est le vecteur BA→\overrightarrow{BA}. Nous avons alors : AB→=−BA→\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}
Soit v→=HF→−HC→−FC→\overrightarrow{v} =\overrightarrow{HF}-\overrightarrow{HC}-\overrightarrow{FC} .
La première chose que nous allons effectuer c'est de faire apparaitre les vecteurs opposés aux vecteurs qui ont des signes (−)\left(-\right). Il vient alors que :
v→=HF→+CH→+CF→\overrightarrow{v} =\overrightarrow{HF}+\overrightarrow{CH}+\overrightarrow{CF} équivaut successivement à :
    Propriétés algébriques. Quels que soient les vecteurs u→\overrightarrow{u} ; v→\overrightarrow{v} et w→\overrightarrow{w}, on a :
  • u→+v→=v→+u→\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}
  • (u→+v→)+w→=u→+(v→+w→)\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)+\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)
v→=CH→+HF→+CF→\overrightarrow{v} =\overrightarrow{C\red{\mathbf{H}}}+\overrightarrow{\red{\mathbf{H}}F}+\overrightarrow{CF}
    La relation de Chasles.
  • Quels que soient les points AA, BB et CC on a : AB→+BC→=AC→\overrightarrow{A\red{\mathbf{B}}}+\overrightarrow{\red{\mathbf{B}}C}=\overrightarrow{AC}
v→=CF→+CF→\overrightarrow{v} =\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{CF}
Ainsi :
v→=2CF→\overrightarrow{v} =2\overrightarrow{CF}
Question 3

w→=AB→−AC→+BC→−BA→\overrightarrow{w} =\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}

Correction
Soit : w→=AB→−AC→+BC→−BA→\overrightarrow{w} =\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}
    Opposé d'un vecteur.
  • L'opposé du vecteur AB→\overrightarrow{AB} est le vecteur BA→\overrightarrow{BA}. Nous avons alors : AB→=−BA→\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}
La première chose que nous allons effectuer c'est de faire apparaitre les vecteurs opposés aux vecteurs qui ont des signes (−)\left(-\right). Il vient alors que :
w→=AB→+CA→+BC→+AB→\overrightarrow{w} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}
    Propriétés algébriques. Quels que soient les vecteurs u→\overrightarrow{u} ; v→\overrightarrow{v} et w→\overrightarrow{w}, on a :
  • u→+v→=v→+u→\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}
  • (u→+v→)+w→=u→+(v→+w→)\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)+\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)
On peut alors écrire que :
w→=CA→+AB→+AB→+BC→\overrightarrow{w} =\overrightarrow{C\red{\mathbf{A}}}+\overrightarrow{\red{\mathbf{A}}B}+\overrightarrow{A\red{\mathbf{B}}}+\overrightarrow{\red{\mathbf{B}}C}
    La relation de Chasles.
  • Quels que soient les points AA, BB et CC on a : AB→+BC→=AC→\overrightarrow{A\red{\mathbf{B}}}+\overrightarrow{\red{\mathbf{B}}C}=\overrightarrow{AC}
w→=CB→+AC→\overrightarrow{w} =\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}
w→=AC→+CB→\overrightarrow{w} =\overrightarrow{A\red{\mathbf{C}}}+\overrightarrow{\red{\mathbf{C}}B}
Ainsi :
w→=AB→\overrightarrow{w} =\overrightarrow{AB}
Question 4

t→=AD→−AB→−CD→\overrightarrow{t}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}

Correction
t→=AD→−AB→−CD→\overrightarrow{t}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}
    Opposé d'un vecteur.
  • L'opposé du vecteur AB→\overrightarrow{AB} est le vecteur BA→\overrightarrow{BA}. Nous avons alors : AB→=−BA→\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}
La première chose que nous allons effectuer c'est de faire apparaitre les vecteurs opposés aux vecteurs qui ont des signes (−)\left(-\right). Il vient alors que :
t→=AD→+BA→+DC→\overrightarrow{t}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}
t→=BA→+AD→+DC→\overrightarrow{t}=\overrightarrow{B\red{\mathbf{A}}}+\overrightarrow{\red{\mathbf{A}}D}+\overrightarrow{DC}
    La relation de Chasles.
  • Quels que soient les points AA, BB et CC on a : AB→+BC→=AC→\overrightarrow{A\red{\mathbf{B}}}+\overrightarrow{\red{\mathbf{B}}C}=\overrightarrow{AC}
t→=BD→+DC→\overrightarrow{t}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}
t→=BD→+DC→\overrightarrow{t}=\overrightarrow{B\red{\mathbf{D}}}+\overrightarrow{\red{\mathbf{D}}C}
Ainsi :
t→=BC→\overrightarrow{t}=\overrightarrow{BC}