Vecteurs du plan : première Partie

Montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme - Exercice 3

12 min
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Question 1
Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan. On considère les points R(−1;4)R\left(-1;4 \right) ; S(1;2)S\left(1;2\right) ; T(−3;2)T\left(-3;2\right) et U(3;4)U\left(3;4\right).

Faites une figure.

Correction
Question 2

Calculer les coordonnées du milieu KK du segment [TU]\left[TU\right].

Correction
Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan et deux points A(xA;yA)A\left(x_{A} ;y_{A} \right) et B(xB;yB)B\left(x_{B} ;y_{B} \right)
  • Les coordonnées du milieu I(xI;yI)I\left(x_{I} ;y_{I} \right) du segment [AB]\left[AB\right] sont : xI=xA+xB2x_{I} =\frac{x_{A} +x_{B} }{2} et yI=yA+yB2y_{I} =\frac{y_{A} +y_{B} }{2}
Il vient alors que :
D’une part :\red{\text{D'une part :}}
xK=xT+xU2x_{K} =\frac{x_{T} +x_{U} }{2} équivaut successivement à :
xK=−3+32x_{K} =\frac{-3+3}{2}
xK=02x_{K} =\frac{0}{2}
xK=0x_{K} =0

D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
yK=yT+yU2y_{K} =\frac{y_{T} +y_{U} }{2}
yK=2+42y_{K} =\frac{2+4}{2}
yK=62y_{K} =\frac{6}{2}
yK=3y_{K} =3

Les coordonnées du milieu KK du segment [TU]\left[TU\right] sont K(0;3)K\left(0 ;3 \right)
Question 3

Calculer les coordonnées du milieu LL du segment [RS]\left[RS\right].

Correction
Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan et deux points A(xA;yA)A\left(x_{A} ;y_{A} \right) et B(xB;yB)B\left(x_{B} ;y_{B} \right)
  • Les coordonnées du milieu I(xI;yI)I\left(x_{I} ;y_{I} \right) du segment [AB]\left[AB\right] sont : xI=xA+xB2x_{I} =\frac{x_{A} +x_{B} }{2} et yI=yA+yB2y_{I} =\frac{y_{A} +y_{B} }{2}
Il vient alors que :
D’une part :\red{\text{D'une part :}}
xL=xR+xS2x_{L} =\frac{x_{R} +x_{S} }{2} équivaut successivement à :
xL=−1+12x_{L} =\frac{-1+1}{2}
xL=02x_{L} =\frac{0}{2}
xL=0x_{L} =0

D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
yL=yR+yS2y_{L} =\frac{y_{R} +y_{S} }{2}
yL=4+22y_{L} =\frac{4+2}{2}
yL=62y_{L} =\frac{6}{2}
yL=3y_{L} =3

Les coordonnées du milieu LL du segment [RS]\left[RS\right] sont L(0;3)L\left(0;3 \right)
Question 4

En déduire la nature du quadrilatère RUSTRUST. Justifier.

Correction
  • Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme .
Les segments [TU]\left[TU\right] et [RS]\left[RS\right] correspondent aux diagonales du quadrilatère RUSTRUST.
L(0;3)L\left(0;3 \right) est confondu avec KK donc les diagonales [TU]\left[TU\right] et [RS]\left[RS\right] ont même milieu.
Il en résulte donc que le quadrilatère RUSTRUST est un parallélogramme.