Vecteurs du plan : première Partie

Montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme - Exercice 2

12 min
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Question 1
Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan. On considère les points A(−4;−1)A\left(-4;-1 \right) ; B(4;−2)B\left(4;-2\right) ; C(8;5)C\left(8;5\right) et D(0;6)D\left(0;6\right).

Placer les points dans le repère .

Correction

Question 2

Calculer les coordonnées du milieu KK du segment [AC]\left[AC\right].

Correction
Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan et deux points A(xA;yA)A\left(x_{A} ;y_{A} \right) et B(xB;yB)B\left(x_{B} ;y_{B} \right)
  • Les coordonnées du milieu I(xI;yI)I\left(x_{I} ;y_{I} \right) du segment [AB]\left[AB\right] sont : xI=xA+xB2x_{I} =\frac{x_{A} +x_{B} }{2} et yI=yA+yB2y_{I} =\frac{y_{A} +y_{B} }{2}
Il vient alors que :
D’une part :\red{\text{D'une part :}}
xK=xA+xC2x_{K} =\frac{x_{A} +x_{C} }{2} équivaut successivement à :
xK=−4+82x_{K} =\frac{-4+8}{2}
xK=42x_{K} =\frac{4}{2}
xK=2x_{K} =2

D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
yK=yA+yC2y_{K} =\frac{y_{A} +y_{C} }{2}
yK=−1+52y_{K} =\frac{-1+5}{2}
yK=42y_{K} =\frac{4}{2}
yK=2y_{K} =2

Les coordonnées du milieu KK du segment [AC]\left[AC\right] sont K(2;2)K\left(2 ;2 \right)
Question 3

Calculer les coordonnées du milieu LL du segment [BD]\left[BD\right].

Correction
Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan et deux points A(xA;yA)A\left(x_{A} ;y_{A} \right) et B(xB;yB)B\left(x_{B} ;y_{B} \right)
  • Les coordonnées du milieu I(xI;yI)I\left(x_{I} ;y_{I} \right) du segment [AB]\left[AB\right] sont : xI=xA+xB2x_{I} =\frac{x_{A} +x_{B} }{2} et yI=yA+yB2y_{I} =\frac{y_{A} +y_{B} }{2}
Il vient alors que :
D’une part :\red{\text{D'une part :}}
xL=xB+xD2x_{L} =\frac{x_{B} +x_{D} }{2} équivaut successivement à :
xL=4+02x_{L} =\frac{4+0}{2}
xL=42x_{L} =\frac{4}{2}
xL=2x_{L} =2

D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
yL=yB+yD2y_{L} =\frac{y_{B} +y_{D} }{2}
yL=−2+62y_{L} =\frac{-2+6}{2}
yL=42y_{L} =\frac{4}{2}
yL=2y_{L} =2

Les coordonnées du milieu LL du segment [BD]\left[BD\right] sont L(2;2)L\left(2;2 \right)
Question 4

En déduire la nature du quadrilatère ABCDABCD. Justifier.

Correction
  • Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme .
Les segments [AC]\left[AC\right] et [BD]\left[BD\right] correspondent aux diagonales du quadrilatère ABCDABCD.
L(2;2)L\left(2;2 \right) est confondu avec KK donc les diagonales [AC]\left[AC\right] et [BD]\left[BD\right] ont même milieu.
Il en résulte donc que le quadrilatère ABCDABCD est un parallélogramme.