Vecteurs du plan : première Partie

Montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme - Exercice 1

12 min
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Question 1
Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan. On considère les points A(−5;−4)A\left(-5;-4 \right) ; B(−3;4)B\left(-3;4\right) ; C(5;6)C\left(5;6\right) et D(3;−2)D\left(3;-2\right).

Placer les points dans le repère .

Correction
Question 2

Calculer les coordonnées du milieu KK du segment [AC]\left[AC\right].

Correction
Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan et deux points A(xA;yA)A\left(x_{A} ;y_{A} \right) et B(xB;yB)B\left(x_{B} ;y_{B} \right)
  • Les coordonnées du milieu I(xI;yI)I\left(x_{I} ;y_{I} \right) du segment [AB]\left[AB\right] sont : xI=xA+xB2x_{I} =\frac{x_{A} +x_{B} }{2} et yI=yA+yB2y_{I} =\frac{y_{A} +y_{B} }{2}
Il vient alors que :
D’une part :\red{\text{D'une part :}}
xK=xA+xC2x_{K} =\frac{x_{A} +x_{C} }{2} équivaut successivement à :
xK=5−52x_{K} =\frac{5-5}{2}
xK=02x_{K} =\frac{0}{2}
xK=0x_{K} =0

D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
yK=yA+yC2y_{K} =\frac{y_{A} +y_{C} }{2}
yK=6−42y_{K} =\frac{6-4}{2}
yK=22y_{K} =\frac{2}{2}
yK=1y_{K} =1

Les coordonnées du milieu KK du segment [AC]\left[AC\right] sont K(0;1)K\left(0 ;1 \right)
Question 3

Calculer les coordonnées du milieu LL du segment [BD]\left[BD\right].

Correction
Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan et deux points A(xA;yA)A\left(x_{A} ;y_{A} \right) et B(xB;yB)B\left(x_{B} ;y_{B} \right)
  • Les coordonnées du milieu I(xI;yI)I\left(x_{I} ;y_{I} \right) du segment [AB]\left[AB\right] sont : xI=xA+xB2x_{I} =\frac{x_{A} +x_{B} }{2} et yI=yA+yB2y_{I} =\frac{y_{A} +y_{B} }{2}
Il vient alors que :
D’une part :\red{\text{D'une part :}}
xL=xB+xD2x_{L} =\frac{x_{B} +x_{D} }{2} équivaut successivement à :
xL=3−32x_{L} =\frac{3-3}{2}
xL=02x_{L} =\frac{0}{2}
xL=0x_{L} =0

D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
yL=yB+yD2y_{L} =\frac{y_{B} +y_{D} }{2}
yL=−2+42y_{L} =\frac{-2+4}{2}
yL=22y_{L} =\frac{2}{2}
yL=1y_{L} =1

Les coordonnées du milieu LL du segment [BD]\left[BD\right] sont L(0;1)L\left(0;1 \right)
Question 4

En déduire la nature du quadrilatère ABCDABCD. Justifier.

Correction
  • Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme .
Les segments [AC]\left[AC\right] et [BD]\left[BD\right] correspondent aux diagonales du quadrilatère ABCDABCD.
L(0;1)L\left(0;1 \right) est confondu avec KK donc les diagonales [AC]\left[AC\right] et [BD]\left[BD\right] ont même milieu.
Il en résulte donc que le quadrilatère ABCDABCD est un parallélogramme.