Soit (0;i;j) un repère du plan. On considère les points A(−5;−4) ; B(−3;4) ; C(5;6) et D(3;−2).
1
Placer les points dans le repère .
Correction
2
Calculer les coordonnées du milieu K du segment [AC].
Correction
Soit (0;i;j) un repère du plan et deux points A(xA;yA) et B(xB;yB)
Les coordonnées du milieu I(xI;yI) du segment [AB] sont : xI=2xA+xB et yI=2yA+yB
Il vient alors que : D’une part : xK=2xA+xC équivaut successivement à : xK=25−5 xK=20
xK=0
D’autre part : yK=2yA+yC yK=26−4 yK=22
yK=1
Les coordonnées du milieu K du segment [AC] sont K(0;1)
3
Calculer les coordonnées du milieu L du segment [BD].
Correction
Soit (0;i;j) un repère du plan et deux points A(xA;yA) et B(xB;yB)
Les coordonnées du milieu I(xI;yI) du segment [AB] sont : xI=2xA+xB et yI=2yA+yB
Il vient alors que : D’une part : xL=2xB+xD équivaut successivement à : xL=23−3 xL=20
xL=0
D’autre part : yL=2yB+yD yL=2−2+4 yL=22
yL=1
Les coordonnées du milieu L du segment [BD] sont L(0;1)
4
En déduire la nature du quadrilatère ABCD. Justifier.
Correction
Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme .
Les segments [AC] et [BD] correspondent aux diagonales du quadrilatère ABCD. L(0;1) est confondu avec K donc les diagonales [AC] et [BD] ont même milieu. Il en résulte donc que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
Exercice 2
Soit (0;i;j) un repère du plan. On considère les points A(−4;−1) ; B(4;−2) ; C(8;5) et D(0;6).
1
Placer les points dans le repère .
Correction
2
Calculer les coordonnées du milieu K du segment [AC].
Correction
Soit (0;i;j) un repère du plan et deux points A(xA;yA) et B(xB;yB)
Les coordonnées du milieu I(xI;yI) du segment [AB] sont : xI=2xA+xB et yI=2yA+yB
Il vient alors que : D’une part : xK=2xA+xC équivaut successivement à : xK=2−4+8 xK=24
xK=2
D’autre part : yK=2yA+yC yK=2−1+5 yK=24
yK=2
Les coordonnées du milieu K du segment [AC] sont K(2;2)
3
Calculer les coordonnées du milieu L du segment [BD].
Correction
Soit (0;i;j) un repère du plan et deux points A(xA;yA) et B(xB;yB)
Les coordonnées du milieu I(xI;yI) du segment [AB] sont : xI=2xA+xB et yI=2yA+yB
Il vient alors que : D’une part : xL=2xB+xD équivaut successivement à : xL=24+0 xL=24
xL=2
D’autre part : yL=2yB+yD yL=2−2+6 yL=24
yL=2
Les coordonnées du milieu L du segment [BD] sont L(2;2)
4
En déduire la nature du quadrilatère ABCD. Justifier.
Correction
Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme .
Les segments [AC] et [BD] correspondent aux diagonales du quadrilatère ABCD. L(2;2) est confondu avec K donc les diagonales [AC] et [BD] ont même milieu. Il en résulte donc que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
Exercice 3
Soit (0;i;j) un repère du plan. On considère les points R(−1;4) ; S(1;2) ; T(−3;2) et U(3;4).
1
Faites une figure.
Correction
2
Calculer les coordonnées du milieu K du segment [TU].
Correction
Soit (0;i;j) un repère du plan et deux points A(xA;yA) et B(xB;yB)
Les coordonnées du milieu I(xI;yI) du segment [AB] sont : xI=2xA+xB et yI=2yA+yB
Il vient alors que : D’une part : xK=2xT+xU équivaut successivement à : xK=2−3+3 xK=20
xK=0
D’autre part : yK=2yT+yU yK=22+4 yK=26
yK=3
Les coordonnées du milieu K du segment [TU] sont K(0;3)
3
Calculer les coordonnées du milieu L du segment [RS].
Correction
Soit (0;i;j) un repère du plan et deux points A(xA;yA) et B(xB;yB)
Les coordonnées du milieu I(xI;yI) du segment [AB] sont : xI=2xA+xB et yI=2yA+yB
Il vient alors que : D’une part : xL=2xR+xS équivaut successivement à : xL=2−1+1 xL=20
xL=0
D’autre part : yL=2yR+yS yL=24+2 yL=26
yL=3
Les coordonnées du milieu L du segment [RS] sont L(0;3)
4
En déduire la nature du quadrilatère RUST. Justifier.
Correction
Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme .
Les segments [TU] et [RS] correspondent aux diagonales du quadrilatère RUST. L(0;3) est confondu avec K donc les diagonales [TU] et [RS] ont même milieu. Il en résulte donc que le quadrilatère RUST est un parallélogramme.
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