Montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme

Il vient alors que :
$\red{\text{D'une part :}}$
$x_{K} =\frac{x_{A} +x_{C} }{2}$ équivaut successivement à :
$x_{K} =\frac{5-5}{2}$
$x_{K} =\frac{0}{2}$

$\red{\text{D'autre part :}}$
$y_{K} =\frac{y_{A} +y_{C} }{2}$
$y_{K} =\frac{6-4}{2}$
$y_{K} =\frac{2}{2}$

Les coordonnées du milieu $K$ du segment $\left[AC\right]$ sont $K\left(0 ;1 \right)$

Il vient alors que :
$\red{\text{D'une part :}}$
$x_{L} =\frac{x_{B} +x_{D} }{2}$ équivaut successivement à :
$x_{L} =\frac{3-3}{2}$
$x_{L} =\frac{0}{2}$

$\red{\text{D'autre part :}}$
$y_{L} =\frac{y_{B} +y_{D} }{2}$
$y_{L} =\frac{-2+4}{2}$
$y_{L} =\frac{2}{2}$

Les coordonnées du milieu $L$ du segment $\left[BD\right]$ sont $L\left(0;1 \right)$

Les segments $\left[AC\right]$ et $\left[BD\right]$ correspondent aux diagonales du quadrilatère $ABCD$.
$L\left(0;1 \right)$ est confondu avec $K$ donc les diagonales $\left[AC\right]$ et $\left[BD\right]$ ont même milieu.
Il en résulte donc que le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.

Il vient alors que :
$\red{\text{D'une part :}}$
$x_{K} =\frac{x_{A} +x_{C} }{2}$ équivaut successivement à :
$x_{K} =\frac{-4+8}{2}$
$x_{K} =\frac{4}{2}$

$\red{\text{D'autre part :}}$
$y_{K} =\frac{y_{A} +y_{C} }{2}$
$y_{K} =\frac{-1+5}{2}$
$y_{K} =\frac{4}{2}$

Les coordonnées du milieu $K$ du segment $\left[AC\right]$ sont $K\left(2 ;2 \right)$

Il vient alors que :
$\red{\text{D'une part :}}$
$x_{L} =\frac{x_{B} +x_{D} }{2}$ équivaut successivement à :
$x_{L} =\frac{4+0}{2}$
$x_{L} =\frac{4}{2}$

$\red{\text{D'autre part :}}$
$y_{L} =\frac{y_{B} +y_{D} }{2}$
$y_{L} =\frac{-2+6}{2}$
$y_{L} =\frac{4}{2}$

Les coordonnées du milieu $L$ du segment $\left[BD\right]$ sont $L\left(2;2 \right)$

Les segments $\left[AC\right]$ et $\left[BD\right]$ correspondent aux diagonales du quadrilatère $ABCD$.
$L\left(2;2 \right)$ est confondu avec $K$ donc les diagonales $\left[AC\right]$ et $\left[BD\right]$ ont même milieu.
Il en résulte donc que le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.

Il vient alors que :
$\red{\text{D'une part :}}$
$x_{K} =\frac{x_{T} +x_{U} }{2}$ équivaut successivement à :
$x_{K} =\frac{-3+3}{2}$
$x_{K} =\frac{0}{2}$

$\red{\text{D'autre part :}}$
$y_{K} =\frac{y_{T} +y_{U} }{2}$
$y_{K} =\frac{2+4}{2}$
$y_{K} =\frac{6}{2}$

Les coordonnées du milieu $K$ du segment $\left[TU\right]$ sont $K\left(0 ;3 \right)$

Il vient alors que :
$\red{\text{D'une part :}}$
$x_{L} =\frac{x_{R} +x_{S} }{2}$ équivaut successivement à :
$x_{L} =\frac{-1+1}{2}$
$x_{L} =\frac{0}{2}$

$\red{\text{D'autre part :}}$
$y_{L} =\frac{y_{R} +y_{S} }{2}$
$y_{L} =\frac{4+2}{2}$
$y_{L} =\frac{6}{2}$

Les coordonnées du milieu $L$ du segment $\left[RS\right]$ sont $L\left(0;3 \right)$

Les segments $\left[TU\right]$ et $\left[RS\right]$ correspondent aux diagonales du quadrilatère $RUST$.
$L\left(0;3 \right)$ est confondu avec $K$ donc les diagonales $\left[TU\right]$ et $\left[RS\right]$ ont même milieu.
Il en résulte donc que le quadrilatère $RUST$ est un parallélogramme.