Exercices types : 33ème partie - Exercice 5

10 min
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Question 1
Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan. On considère les points : D(0;−2)D\left(0;-2\right) ; U(3;1)U\left(3;1\right) ; R(3;−5)R\left(3;-5\right).

Placer les points dans un repère.

Correction
Question 2

Quelle est la nature du triangle DURDUR.

Correction
Calculons les longueurs des trois côtés du triangle DURDUR.
Soit (0;i⃗;j⃗)\left(0;\vec{i} ;\vec{j} \right) un repère orthonormal du plan et deux points A(xA;yA)A\left(x_{A} ;y_{A} \right) et B(xB;yB)B\left(x_{B} ;y_{B} \right). La distance ABAB est donnée par la formule :
  • AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB=\sqrt{\left(x_{B} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{B} -y_{A} \right)^{2} }
Ainsi :
DU=(xU−xD)2+(yU−yD)2⇔DU=(3−0)2+(1−(−2))2⇔DU=32+32DU=\sqrt{\left(x_{U} -x_{D} \right)^{2} +\left(y_{U} -y_{D} \right)^{2} }\Leftrightarrow DU=\sqrt{\left(3-0\right)^{2} +\left(1-\left(-2\right)\right)^{2} } \Leftrightarrow DU=\sqrt{3^{2} +3^{2} }
D'où :
DU=18DU=\sqrt{18}

DR=(xR−xD)2+(yR−yD)2⇔DR=(3−0)2+(−5−(−2))2⇔DR=32+32DR=\sqrt{\left(x_{R} -x_{D} \right)^{2} +\left(y_{R} -y_{D} \right)^{2} }\Leftrightarrow DR=\sqrt{\left(3-0\right)^{2} +\left(-5-\left(-2\right)\right)^{2} } \Leftrightarrow DR=\sqrt{3^{2} +3^{2} }
D'où :
DR=18DR=\sqrt{18}

UR=(xR−xU)2+(yR−yU)2⇔UR=(3−3)2+(−5−1)2⇔UR=02+(−6)2UR=\sqrt{\left(x_{R} -x_{U} \right)^{2} +\left(y_{R} -y_{U} \right)^{2} }\Leftrightarrow UR=\sqrt{\left(3-3\right)^{2} +\left(-5-1\right)^{2} } \Leftrightarrow UR=\sqrt{0^{2} +\left(-6\right)^{2} }
D'où :
UR=6UR=6

Nous pouvons déjà affirmé que le triangle est isocèle car DR=DUDR=DU.
De plus :
D'une part : UR2=62=36UR^{2}=6^{2}=36
D'autre part : DR2+DU2=(18)2+(18)2DR^{2}+DU^{2}=\left(\sqrt{18}\right)^{2}+\left(\sqrt{18}\right)^{2} ainsi : DR2+DU2=18+18=36DR^{2}+DU^{2}=18+18=36
Il en résulte donc que :
UR2=DR2+DU2UR^{2} =DR^{2}+DU^{2} alors, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle DURDUR est rectangle en DD.

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