Exercices types : $$3$$^ème partie - Exercice 5

Calculons les longueurs des trois côtés du triangle $$DUR$$.
Ainsi :
$$DU=\sqrt{\left(x_{U} -x_{D} \right)^{2} +\left(y_{U} -y_{D} \right)^{2} }\Leftrightarrow DU=\sqrt{\left(3-0\right)^{2} +\left(1-\left(-2\right)\right)^{2} } \Leftrightarrow DU=\sqrt{3^{2} +3^{2} }$$
D'où :
$$DR=\sqrt{\left(x_{R} -x_{D} \right)^{2} +\left(y_{R} -y_{D} \right)^{2} }\Leftrightarrow DR=\sqrt{\left(3-0\right)^{2} +\left(-5-\left(-2\right)\right)^{2} } \Leftrightarrow DR=\sqrt{3^{2} +3^{2} }$$
D'où :
$$UR=\sqrt{\left(x_{R} -x_{U} \right)^{2} +\left(y_{R} -y_{U} \right)^{2} }\Leftrightarrow UR=\sqrt{\left(3-3\right)^{2} +\left(-5-1\right)^{2} } \Leftrightarrow UR=\sqrt{0^{2} +\left(-6\right)^{2} }$$
D'où :
Nous pouvons déjà affirmé que le triangle est isocèle car $$DR=DU$$.
De plus :
D'une part : $$UR^{2}=6^{2}=36$$
D'autre part : $$DR^{2}+DU^{2}=\left(\sqrt{18}\right)^{2}+\left(\sqrt{18}\right)^{2}$$ ainsi : $$DR^{2}+DU^{2}=18+18=36$$
Il en résulte donc que :
$$UR^{2} =DR^{2}+DU^{2}$$ alors, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $$DUR$$ est rectangle en $$D$$.