Vecteurs du plan : première Partie

Exercices types : 33ème partie - Exercice 3

20 min
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Question 1
Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan. On considère les points : A(−7;2)A\left(-7;2 \right) ; B(−5;5)B\left(-5;5\right) et C(4;−1)C\left(4;-1\right)

Placer les points dans un repère orthonormé.

Correction
Question 2
On note OO le milieu du segment [AC]\left[AC\right].

Déterminer les coordonnées du milieu OO de [AC]\left[AC\right].

Correction
Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan et deux points A(xA;yA)A\left(x_{A} ;y_{A} \right) et B(xB;yB)B\left(x_{B} ;y_{B} \right)
  • Les coordonnées du milieu I(xI;yI)I\left(x_{I} ;y_{I} \right) du segment [AB]\left[AB\right] sont : xI=xA+xB2x_{I} =\frac{x_{A} +x_{B} }{2} et yI=yA+yB2y_{I} =\frac{y_{A} +y_{B} }{2}
Il vient alors que :
D’une part :\red{\text{D'une part :}}
xO=xA+xC2x_{O} =\frac{x_{A} +x_{C} }{2} équivaut successivement à :
xO=−7+42x_{O} =\frac{-7 +4}{2}
xO=−32x_{O} =-\frac{3}{2}

D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
yO=yA+yC2y_{O} =\frac{y_{A} +y_{C} }{2}
yO=2−12y_{O} =\frac{2 -1}{2}
yO=12y_{O} =\frac{1}{2}

Les coordonnées du milieu OO du segment [AC]\left[AC\right] sont O(−32;12)O\left(-\frac{3}{2} ;\frac{1}{2} \right)
Question 3

Déterminer les coordonnées de DD tel que ABCDABCD soit un parallélogramme.

Correction
  • Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme .
Les diagonales sont les segments [AC]\left[AC\right] et [BD]\left[BD\right].
D'après la question 22 nous savons que le point OO est le milieu du segment [AC]\left[AC\right]. Pour que ABCDABCD soit un parallélogramme, il faut que le point OO soit également le milieu du segment [BD]\left[BD\right].
Soit D(xD;yD)D\left(x_{D} ;y_{D} \right) le point recherché. Il vient alors que :
D’une part :\red{\text{D'une part :}}
xO=xB+xD2x_{O} =\frac{x_{B} +x_{D} }{2} équivaut successivement à :
−32=−5+xD2-\frac{3}{2} =\frac{-5+x_{D}}{2}
  • A2=B2⇔A=B\frac{A}{2} =\frac{B}{2} \Leftrightarrow A=B
−3=−5+xD-3=-5+x_{D}
−5+xD=−3-5+x_{D}=-3
xD=−3+5x_{D}=-3+5
xD=2x_{D}=2

D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
yO=yB+yD2y_{O} =\frac{y_{B} +y_{D} }{2} équivaut successivement à :
12=5+yD2\frac{1}{2} =\frac{5+y_{D}}{2}
  • A2=B2⇔A=B\frac{A}{2} =\frac{B}{2} \Leftrightarrow A=B
1=5+yD1=5+y_{D}
5+yD=15+y_{D}=1
yD=1−5y_{D}=1-5
yD=−4y_{D}=-4

Les coordonnées du point DD tel que ABCDABCD soit un parallélogramme sont D(2;−4)D\left(2;-4 \right)
Question 4

Calculer les longueurs ACAC et BDBD.

Correction
Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère orthonormal du plan et deux points A(xA;yA)A\left(x_{A} ;y_{A} \right) et B(xB;yB)B\left(x_{B} ;y_{B} \right). La distance ABAB est donnée par la formule :
  • AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB=\sqrt{\left(x_{B} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{B} -y_{A} \right)^{2} }
Ainsi :
AC=(xC−xA)2+(yC−yA)2AC=\sqrt{\left(x_{C} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{C} -y_{A} \right)^{2} } équivaut successivement à :
AC=(4−(−7))2+(−1−2)2AC=\sqrt{\left(4-\left(-7\right) \right)^{2} +\left(-1-2 \right)^{2} }
AC=130AC=\sqrt{130 }

BD=(xD−xB)2+(yD−yB)2BD=\sqrt{\left(x_{D} -x_{B} \right)^{2} +\left(y_{D} -y_{B} \right)^{2} } équivaut successivement à :
BD=(2−(−5))2+(−4−5)2BD=\sqrt{\left(2-\left(-5\right) \right)^{2} +\left(-4-5 \right)^{2} }
BD=130BD=\sqrt{130}

Question 5

Que peut-on en déduire pour le parallélogramme ABCDABCD.

Correction
  • Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c'est un rectangle.
D'après la question 44, les diagonales ACAC et BDBD du parallélogramme ABCDABCD sont de même longueur.
Il en résulte donc que ABCDABCD est un rectangle.