Vecteurs du plan : première Partie

Exercices types : 33ème partie - Exercice 2

20 min
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Question 1
Soit (0;i;j)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan. On considère les points : A(3;3)A\left(-3;-3 \right) ; B(2;1)B\left(-2;1\right) ; C(2;2)C\left(2;2\right) et D(1;2)D\left(1;-2\right)

Faire une figure.

Correction
Question 2

Démontrer que le quadrilatère ABCDABCD est un parallélogramme.

Correction
Nous allons déterminer les coordonnées du milieu de chaque diagonale du quadrilatère.
Soit (0;i;j)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan et deux points A(xA;yA)A\left(x_{A} ;y_{A} \right) et B(xB;yB)B\left(x_{B} ;y_{B} \right)
  • Les coordonnées du milieu I(xI;yI)I\left(x_{I} ;y_{I} \right) du segment [AB]\left[AB\right] sont : xI=xA+xB2x_{I} =\frac{x_{A} +x_{B} }{2} et yI=yA+yB2y_{I} =\frac{y_{A} +y_{B} }{2}
  • Notons KK le milieu du segment [AC]\left[AC\right]. Il vient alors que :
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
    xK=xA+xC2x_{K} =\frac{x_{A} +x_{C} }{2} équivaut successivement à :
    xK=3+22x_{K} =\frac{-3 +2}{2}
    xK=12x_{K} =\frac{-1}{2}

    D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
    yK=yA+yC2y_{K} =\frac{y_{A} +y_{C} }{2}
    yK=3+22y_{K} =\frac{-3 +2}{2}
    yK=12y_{K} =\frac{-1}{2}

    Les coordonnées du milieu KK du segment [AC]\left[AC\right] sont K(12;12)K\left(\frac{-1}{2} ;\frac{-1}{2} \right)

  • Notons LL le milieu du segment [BD]\left[BD\right]. Il vient alors que :
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
    xL=xB+xD2x_{L} =\frac{x_{B} +x_{D} }{2} équivaut successivement à :
    xL=2+12x_{L} =\frac{-2+1}{2}
    xL=12x_{L} =\frac{-1}{2}

    D’une part :\red{\text{D'une part :}}
    yL=yB+yD2y_{L} =\frac{y_{B} +y_{D} }{2}
    yL=122y_{L} =\frac{1-2}{2}
    yL=12y_{L} =\frac{-1}{2}

    Les coordonnées du milieu LL du segment [BD]\left[BD\right] sont L(12;12)L\left(\frac{-1}{2};\frac{-1}{2} \right)
    • Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme .
    Les segments [AC]\left[AC\right] et [BD]\left[BD\right] correspondent aux diagonales du quadrilatère ABCDABCD.
    L(12;12)L\left(\frac{-1}{2};\frac{-1}{2} \right) est confondu avec KK donc les diagonales [AC]\left[AC\right] et [BD]\left[BD\right] ont même milieu.
    Il en résulte donc que le quadrilatère ABCDABCD est un parallélogramme.
    Question 3

    Calculer les distances ABAB et BCBC.

    Correction
    Soit (0;i;j)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère orthonormal du plan et deux points A(xA;yA)A\left(x_{A} ;y_{A} \right) et B(xB;yB)B\left(x_{B} ;y_{B} \right). La distance ABAB est donnée par la formule :
    • AB=(xBxA)2+(yByA)2AB=\sqrt{\left(x_{B} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{B} -y_{A} \right)^{2} }
    Ainsi :
    AB=(xBxA)2+(yByA)2AB=\sqrt{\left(x_{B} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{B} -y_{A} \right)^{2} } équivaut successivement à :
    AB=(3(2))2+(1(3))2AB=\sqrt{\left(-3-\left(-2\right) \right)^{2} +\left(1-\left(-3\right) \right)^{2} }
    AB=17AB=\sqrt{17 }

    BC=(xCxB)2+(yCyB)2BC=\sqrt{\left(x_{C} -x_{B} \right)^{2} +\left(y_{C} -y_{B} \right)^{2} } équivaut successivement à :
    BC=(2(2))2+(21)2BC=\sqrt{\left(2-\left(-2\right) \right)^{2} +\left(2-1 \right)^{2} }
    BC=17BC=\sqrt{17 }

    Question 4

    Que peut-on en déduire pour le quadrilatère ABCDABCD?

    Correction
    Nous avons un parallélogramme avec deux cotés consécutifs égaux. Le parallélogramme ABCDABCD est un losange.
    Question 5

    Est-il vrai que ABCDABCD est un carré? justifier.

    Correction
    Pour que le losange ABCDABCD soit un carré, il faut que l'on montre qu'il y ait un angle droit.
    Nous connaissons les distances ABAB et BCBC. Calculons la distance ACAC et vérifions si le triangle ABCABC est rectangle en BB.
    AC=(xCxA)2+(yCyA)2AC=\sqrt{\left(x_{C} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{C} -y_{A} \right)^{2} } équivaut successivement à :
    AC=(2(3))2+(2(3))2AC=\sqrt{\left(2-\left(-3\right) \right)^{2} +\left(2-\left(-3\right) \right)^{2} }
    AC=25AC=\sqrt{25 }

    Or nous vérifions facilement que : AC2AB2+BC2AC^{2} \ne AB^{2} +BC^{2}. Le triangle ABCABC n'est pas rectangle en BB.
    De ce fait le losange n'aura aucun angle droit. Ainsi ABCDABCD ne peut donc pas être un carré.