Exercices types : $$3$$^ème partie - Exercice 2

Nous allons déterminer les coordonnées du milieu de chaque diagonale du quadrilatère.

Notons $$K$$ le milieu du segment $$\left[AC\right]$$. Il vient alors que :

$$\red{\text{D'une part :}}$$
$$x_{K} =\frac{x_{A} +x_{C} }{2}$$ équivaut successivement à :
$$x_{K} =\frac{-3 +2}{2}$$

$$\red{\text{D'autre part :}}$$
$$y_{K} =\frac{y_{A} +y_{C} }{2}$$
$$y_{K} =\frac{-3 +2}{2}$$

Les coordonnées du milieu $$K$$ du segment $$\left[AC\right]$$ sont $$K\left(\frac{-1}{2} ;\frac{-1}{2} \right)$$

Notons $$L$$ le milieu du segment $$\left[BD\right]$$. Il vient alors que :

$$\red{\text{D'une part :}}$$
$$x_{L} =\frac{x_{B} +x_{D} }{2}$$ équivaut successivement à :
$$x_{L} =\frac{-2+1}{2}$$

$$\red{\text{D'une part :}}$$
$$y_{L} =\frac{y_{B} +y_{D} }{2}$$
$$y_{L} =\frac{1-2}{2}$$

Les coordonnées du milieu $$L$$ du segment $$\left[BD\right]$$ sont $$L\left(\frac{-1}{2};\frac{-1}{2} \right)$$
Les segments $$\left[AC\right]$$ et $$\left[BD\right]$$ correspondent aux diagonales du quadrilatère $$ABCD$$.
$$L\left(\frac{-1}{2};\frac{-1}{2} \right)$$ est confondu avec $$K$$ donc les diagonales $$\left[AC\right]$$ et $$\left[BD\right]$$ ont même milieu.
Il en résulte donc que le quadrilatère $$ABCD$$ est un parallélogramme.

Ainsi :
$$AB=\sqrt{\left(x_{B} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{B} -y_{A} \right)^{2} }$$ équivaut successivement à :
$$AB=\sqrt{\left(-3-\left(-2\right) \right)^{2} +\left(1-\left(-3\right) \right)^{2} }$$

$$BC=\sqrt{\left(x_{C} -x_{B} \right)^{2} +\left(y_{C} -y_{B} \right)^{2} }$$ équivaut successivement à :
$$BC=\sqrt{\left(2-\left(-2\right) \right)^{2} +\left(2-1 \right)^{2} }$$

Nous avons un parallélogramme avec deux cotés consécutifs égaux. Le parallélogramme $$ABCD$$ est un losange.

Pour que le losange $$ABCD$$ soit un carré, il faut que l'on montre qu'il y ait un angle droit.
Nous connaissons les distances $$AB$$ et $$BC$$. Calculons la distance $$AC$$ et vérifions si le triangle $$ABC$$ est rectangle en $$B$$.
$$AC=\sqrt{\left(x_{C} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{C} -y_{A} \right)^{2} }$$ équivaut successivement à :
$$AC=\sqrt{\left(2-\left(-3\right) \right)^{2} +\left(2-\left(-3\right) \right)^{2} }$$

Or nous vérifions facilement que : $$AC^{2} \ne AB^{2} +BC^{2}$$. Le triangle $$ABC$$ n'est pas rectangle en $$B$$.
De ce fait le losange n'aura aucun angle droit. Ainsi $$ABCD$$ ne peut donc pas être un carré.