Exercices types : $$3$$^ème partie - Exercice 1

Il vient alors que :
$$\red{\text{D'une part :}}$$
$$x_{K} =\frac{x_{A} +x_{C} }{2}$$ équivaut successivement à :
$$x_{K} =\frac{-1 +1}{2}$$
$$x_{K} =\frac{0}{2}$$

$$\red{\text{D'autre part :}}$$
$$y_{K} =\frac{y_{A} +y_{C} }{2}$$
$$y_{K} =\frac{4 -1}{2}$$

Les coordonnées du milieu $$K$$ du segment $$\left[AC\right]$$ sont $$K\left(0 ;\frac{3}{2} \right)$$

Il vient alors que :
$$\red{\text{D'une part :}}$$
$$x_{L} =\frac{x_{B} +x_{D} }{2}$$ équivaut successivement à :
$$x_{L} =\frac{4-4}{2}$$
$$x_{L} =\frac{0}{2}$$

$$\red{\text{D'autre part :}}$$
$$y_{L} =\frac{y_{B} +y_{D} }{2}$$
$$y_{L} =\frac{0+3}{2}$$

Les coordonnées du milieu $$L$$ du segment $$\left[BD\right]$$ sont $$L\left(0;\frac{3}{2} \right)$$

Les segments $$\left[AC\right]$$ et $$\left[BD\right]$$ correspondent aux diagonales du quadrilatère $$ABCD$$.
$$L\left(0;\frac{3}{2} \right)$$ est confondu avec $$K$$ donc les diagonales $$\left[AC\right]$$ et $$\left[BD\right]$$ ont même milieu.
Il en résulte donc que le quadrilatère $$ABCD$$ est un parallélogramme.

Comme $$C$$ est le milieu de $$\left[DE\right]$$, nous allons appliquer la méthode pour calculer les coordonnées d'un milieu.
Il vient alors que :
$$\red{\text{D'une part :}}$$
$$x_{C} =\frac{x_{D} +x_{E} }{2}$$ équivaut successivement à :
$$1 =\frac{-4+x_{E}}{2}$$ . Ici, nous allons tout mettre au même dénominateur.
$$\frac{1\times2}{2} =\frac{-4+x_{E}}{2}$$
$$\frac{2}{2} =\frac{-4+x_{E}}{2}$$
$$2=-4+x_{E}$$
$$-4+x_{E}=2$$
$$x_{E}=2+4$$

$$\red{\text{D'autre part :}}$$
$$y_{C} =\frac{y_{D} +y_{E} }{2}$$ équivaut successivement à :
$$-1 =\frac{3+y_{E}}{2}$$ . Ici, nous allons tout mettre au même dénominateur.
$$\frac{-1\times2}{2} =\frac{3+y_{E}}{2}$$
$$\frac{-2}{2} =\frac{3+y_{E}}{2}$$
$$-2=3+y_{E}$$
$$3+y_{E}=-2$$
$$y_{E}=-2-3$$

Les coordonnées du point $$E$$ tel que $$C$$ soit le milieu de $$\left[DE\right]$$ sont $$E\left(6;-5 \right)$$