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Exercices types : 33ème partie - Exercice 1

18 min
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Question 1
Soit (0;i;j)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan. On considère les points A(1;4)A\left(-1;4 \right) ; B(4;0)B\left(4;0\right) ; C(1;1)C\left(1;-1\right) et D(4;3)D\left(-4;3\right).

Calculer les coordonnées du milieu KK du segment [AC]\left[AC\right].

Correction
Soit (0;i;j)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan et deux points A(xA;yA)A\left(x_{A} ;y_{A} \right) et B(xB;yB)B\left(x_{B} ;y_{B} \right)
  • Les coordonnées du milieu I(xI;yI)I\left(x_{I} ;y_{I} \right) du segment [AB]\left[AB\right] sont : xI=xA+xB2x_{I} =\frac{x_{A} +x_{B} }{2} et yI=yA+yB2y_{I} =\frac{y_{A} +y_{B} }{2}
Il vient alors que :
D’une part :\red{\text{D'une part :}}
xK=xA+xC2x_{K} =\frac{x_{A} +x_{C} }{2} équivaut successivement à :
xK=1+12x_{K} =\frac{-1 +1}{2}
xK=02x_{K} =\frac{0}{2}
xK=0x_{K} =0

D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
yK=yA+yC2y_{K} =\frac{y_{A} +y_{C} }{2}
yK=412y_{K} =\frac{4 -1}{2}
yK=32y_{K} =\frac{3}{2}

Les coordonnées du milieu KK du segment [AC]\left[AC\right] sont K(0;32)K\left(0 ;\frac{3}{2} \right)
Question 2

Calculer les coordonnées du milieu LL du segment [BD]\left[BD\right].

Correction
Soit (0;i;j)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan et deux points A(xA;yA)A\left(x_{A} ;y_{A} \right) et B(xB;yB)B\left(x_{B} ;y_{B} \right)
  • Les coordonnées du milieu I(xI;yI)I\left(x_{I} ;y_{I} \right) du segment [AB]\left[AB\right] sont : xI=xA+xB2x_{I} =\frac{x_{A} +x_{B} }{2} et yI=yA+yB2y_{I} =\frac{y_{A} +y_{B} }{2}
Il vient alors que :
D’une part :\red{\text{D'une part :}}
xL=xB+xD2x_{L} =\frac{x_{B} +x_{D} }{2} équivaut successivement à :
xL=442x_{L} =\frac{4-4}{2}
xL=02x_{L} =\frac{0}{2}
xL=0x_{L} =0

D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
yL=yB+yD2y_{L} =\frac{y_{B} +y_{D} }{2}
yL=0+32y_{L} =\frac{0+3}{2}
yL=32y_{L} =\frac{3}{2}

Les coordonnées du milieu LL du segment [BD]\left[BD\right] sont L(0;32)L\left(0;\frac{3}{2} \right)
Question 3

En déduire la nature du quadrilatère ABCDABCD. Justifier.

Correction
  • Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme .
Les segments [AC]\left[AC\right] et [BD]\left[BD\right] correspondent aux diagonales du quadrilatère ABCDABCD.
L(0;32)L\left(0;\frac{3}{2} \right) est confondu avec KK donc les diagonales [AC]\left[AC\right] et [BD]\left[BD\right] ont même milieu.
Il en résulte donc que le quadrilatère ABCDABCD est un parallélogramme.
Question 4

Déterminer les coordonnées du point EE tel que CC soit le milieu de DEDE.

Correction
Comme CC est le milieu de DEDE, nous allons appliquer la méthode pour calculer les coordonnées d'un milieu.
Soit (0;i;j)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan et deux points A(xA;yA)A\left(x_{A} ;y_{A} \right) et B(xB;yB)B\left(x_{B} ;y_{B} \right)
  • Les coordonnées du milieu I(xI;yI)I\left(x_{I} ;y_{I} \right) du segment [AB]\left[AB\right] sont : xI=xA+xB2x_{I} =\frac{x_{A} +x_{B} }{2} et yI=yA+yB2y_{I} =\frac{y_{A} +y_{B} }{2}
Il vient alors que :
D’une part :\red{\text{D'une part :}}
xC=xD+xE2x_{C} =\frac{x_{D} +x_{E} }{2} équivaut successivement à :
1=4+xE21 =\frac{-4+x_{E}}{2} . Ici, nous allons tout mettre au même dénominateur.
1×22=4+xE2\frac{1\times2}{2} =\frac{-4+x_{E}}{2}
22=4+xE2\frac{2}{2} =\frac{-4+x_{E}}{2}
  • A2=B2A=B\frac{A}{2} =\frac{B}{2} \Leftrightarrow A=B
2=4+xE2=-4+x_{E}
4+xE=2-4+x_{E}=2
xE=2+4x_{E}=2+4
xE=6x_{E}=6

D’une part :\red{\text{D'une part :}}
yC=yD+yE2y_{C} =\frac{y_{D} +y_{E} }{2} équivaut successivement à :
1=3+yE2-1 =\frac{3+y_{E}}{2} . Ici, nous allons tout mettre au même dénominateur.
1×22=3+yE2\frac{-1\times2}{2} =\frac{3+y_{E}}{2}
22=3+yE2\frac{-2}{2} =\frac{3+y_{E}}{2}
  • A2=B2A=B\frac{A}{2} =\frac{B}{2} \Leftrightarrow A=B
2=3+yE-2=3+y_{E}
3+yE=23+y_{E}=-2
yE=23y_{E}=-2-3
yE=5y_{E}=-5

Les coordonnées du point EE tel que CC soit le milieu de DEDE sont E(6;5)E\left(6;-5 \right)